Questão 2 [Total:
] Uma casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
é uniformemente carregada com densidade de carga
dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
que também é uniformemente carregada com densidade de carga
. Encontre o campo elétrico no ponto
a uma distância
do centro comum tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de eletrostática envolvendo duas cascas esféricas não condutoras com diferentes raios e densidades de carga. A parada é descobrir qual é o campo elétrico num ponto
que está a uma distância
do centro comum dessas cascas, sendo que
é menor que o raio interno da primeira casca (
). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que ajuda a calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma casca esférica não condutora. Ela tem carga distribuída de forma uniforme entre seu raio interno (
) e externo (
). A densidade de carga
nos diz quanta carga está presente por unidade de volume nessa região.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície gaussiana, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
No nosso caso, estamos considerando um ponto
onde
. Isso significa que estamos dentro do raio interno da primeira casca. Como as cascas são não condutoras e têm carga distribuída entre
e
, dentro de
não há carga encerrada pela superfície gaussiana. Ou seja,
.
Passo 5
Substituindo na equação de Gauss:
Isso quer dizer que o fluxo elétrico é zero. Como temos simetria esférica, o campo elétrico
deve ser o mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana e perpendicular a ela. Portanto, a única solução é que o campo elétrico
seja zero nesse ponto.