Um canhão antiaéreo dispara um projétil com velocidade inicial de 2,00 times 10^2 m / s formando um ângulo de 60,0^circ acima da horizontal. No instante do disparo, um avião está voando horizontalmente a uma altitude de 1,00 times 10^3 m, aproximando-se do canhão com uma velocidade de 80,0 m / s. Qual deve ser a distância horizontal entre o canhão e o avião no instante do disparo para que o projétil atinja o avião?

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado diz e o que a gente vai usar:
– Um canhão dispara um projétil com velocidade inicial
v0 = 2,00times10^2;m/s
num ângulo de 60,0^circ acima da horizontal.
– Um avião voa horizontalmente a 1,00times10^3;m de altitude, vindo em direção ao canhão a 80,0;m/s.
O que a gente quer: a distância horizontal inicial entre o canhão e o avião pra que o projétil acerte o avião.
Conteúdo e ferramentas que vamos usar:
• Cinemática do projetil – decompor o movimento em horizontal (M.U.) e vertical (M.U.V.).
• Posição do avião como função do tempo (vai se aproximando linearmente).
• Igualar as posições no instante do “acerto” (mesmo tempo).

Passo 2

Primeiro, decompõe a velocidade inicial do projétil em componentes:
– Horizontal:
v0x = v0cos60^circ = 200cdot12 = 100;m/s
– Vertical:
v0y = v0sin60^circ = 200cdotraiz32 = 100raiz3;m/s
Agora as equações das posições, tomando o canhão como origem (x=0, y=0) no instante do disparo:
  1. Posição horizontal do projetil:
xp(t) = v0x,t = 100,t
2) Posição vertical do projetil (com aceleração g=9,8;m/s^2 para baixo):
yp(t) = v0y,t - tfrac12,g,t^2 = 100raiz3,t - 4,9,t^2
  1. Posição horizontal do avião: se a distância inicial for d, ele parte de x=a=d e se aproxima a 80 m/s:
xa(t) = d - 80,t
E a altitude do avião é constante:
ya(t) = 1,00times10^3;m

Passo 3

Vamos achar o tempo t em que o projetil está na mesma altitude do avião:
yp(t) = ya(t) Longrightarrow 100raiz3,t - 4,9,t^2 = 1000
Isso dá a equação do 2º grau:
4,9,t^2 - 100raiz3,t + 1000 = 0
Calculando os coeficientes:
b = -100raiz3approx -173,2, a=4,9, c=1000.
– Discriminante:
De
Raízes:
$$t = \frac{100\sqrt3 \pm \sqrt{10400}}{2\cdot4{,}9}
\approx \frac{173{,}2 \pm 102{,}0}{9{,}8}.$$
Isso dá dois tempos:
t = 100raiz3 pm raiz104002cdot4,9 approx 173,2 pm 102,09,8 (subida)
t1approx173,2 - 102,09,8approx7,27;s (descida)
Geralmente escolhemos o tempo menor ( t2approx173,2 + 102,09,8approx28,07;ss), porque é a interseção na subida do projétil.

Passo 4

Agora equaciona a colisão em x:
xp(t) = xa(t)Longrightarrow 100,t = d - 80,t
Então
d = 100,t + 80,t = 180,t
Substituindo t = 7,27,s:
d = 180 times 7,27 approx 1308,6;m

Resposta

A distância horizontal inicial deve ser de aproximadamente
boxed1,31times10^3;m

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