Um canhão antiaéreo dispara um projétil com velocidade inicial de
formando um ângulo de
acima da horizontal. No instante do disparo, um avião está voando horizontalmente a uma altitude de
, aproximando-se do canhão com uma velocidade de
. Qual deve ser a distância horizontal entre o canhão e o avião no instante do disparo para que o projétil atinja o avião?
Passo 1
Beleza, olha o que o enunciado diz e o que a gente vai usar:
– Um canhão dispara um projétil com velocidade inicial
– Um canhão dispara um projétil com velocidade inicial
num ângulo de
acima da horizontal.
– Um avião voa horizontalmente a
de altitude, vindo em direção ao canhão a
.
O que a gente quer: a distância horizontal inicial entre o canhão e o avião pra que o projétil acerte o avião.
O que a gente quer: a distância horizontal inicial entre o canhão e o avião pra que o projétil acerte o avião.
Conteúdo e ferramentas que vamos usar:
• Cinemática do projetil – decompor o movimento em horizontal (M.U.) e vertical (M.U.V.).
• Posição do avião como função do tempo (vai se aproximando linearmente).
• Igualar as posições no instante do “acerto” (mesmo tempo).
• Cinemática do projetil – decompor o movimento em horizontal (M.U.) e vertical (M.U.V.).
• Posição do avião como função do tempo (vai se aproximando linearmente).
• Igualar as posições no instante do “acerto” (mesmo tempo).
Passo 2
Primeiro, decompõe a velocidade inicial do projétil em componentes:
– Horizontal:
– Horizontal:
– Vertical:
Agora as equações das posições, tomando o canhão como origem (x=0, y=0) no instante do disparo:
- Posição horizontal do projetil:
2) Posição vertical do projetil (com aceleração
- Posição horizontal do avião: se a distância inicial for
, ele parte de e se aproxima a 80 m/s:
E a altitude do avião é constante:
Passo 3
Vamos achar o tempo
em que o projetil está na mesma altitude do avião:
Isso dá a equação do 2º grau:
Calculando os coeficientes:
– ,
,
.
– Discriminante:
–
– Discriminante:
Raízes:
$$t = \frac{100\sqrt3 \pm \sqrt{10400}}{2\cdot4{,}9}
\approx \frac{173{,}2 \pm 102{,}0}{9{,}8}.$$
Isso dá dois tempos:
– (subida)
– (descida)
Isso dá dois tempos:
–
–
Geralmente escolhemos o tempo menor (
s), porque é a interseção na subida do projétil.
Passo 4
Agora equaciona a colisão em
:
Então
Substituindo
s:
Resposta
A distância horizontal inicial deve ser de aproximadamente