Um foguete de brinquedo é lançado verticalmente de uma plataforma em repouso a uma velocidade inicial de
. No mesmo instante, outra bola é largada de uma altura
, diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi lançada. Despreze a resistência do ar. a) Calcule o instante de tempo em que as bolas colidem. b) Qual deve ser a velocidade inicial
do foguete para que a colisão ocorra quando a primeira bola atinja sua altura máxima?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um foguete de brinquedo que é lançado para cima com uma velocidade inicial $ v_0 $ de uma plataforma parada. Ao mesmo tempo, uma bola é solta de uma altura $ H $ diretamente acima do ponto de lançamento do foguete. A gente quer descobrir:
a) Em que instante de tempo as duas bolas (o foguete e a bola solta) vão colidir.
b) Qual deve ser a velocidade inicial $ v_0 $ do foguete para que essa colisão aconteça exatamente quando o foguete alcança a sua altura máxima.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de movimento uniformemente variado e as equações de cinemática para corpos em queda livre. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Vamos começar com a parte a) da questão: calcular o instante de tempo em que as bolas colidem.
Primeiro, vamos entender os movimentos de cada objeto:
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Foguete: Está sendo lançado para cima com uma velocidade inicial $ v_0 $. A posição do foguete em função do tempo $ t $ pode ser descrita pela equação:Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
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Bola: É solta de uma altura $ H $ e está caindo livremente. A posição da bola em função do tempo $ t $ é:
Para encontrar o instante em que elas colidem, precisamos achar o tempo $ t $ em que as posições são iguais, ou seja, $ y_1(t) = y_2(t) $.
Vamos igualar as duas equações:
Perceba que os termos com $ \frac{1}{2} g t^2 $ se cancelam dos dois lados:
Agora, isolamos $ t $:
Então, o instante de tempo em que as bolas colidem é $ \frac{H}{v_0} $ segundos.
Passo 3
Agora vamos para a parte b): determinar qual deve ser a velocidade inicial $ v_0 $ do foguete para que a colisão aconteça exatamente quando o foguete atinge a sua altura máxima.
Primeiro, precisamos lembrar que a altura máxima é alcançada quando a velocidade do foguete é zero. A equação da velocidade em função do tempo para o foguete é:
Na altura máxima, $ v(t) = 0 $:
Esse é o tempo que o foguete leva para parar de subir.
Agora, queremos que a colisão ocorra exatamente nesse momento, ou seja, que:
Da parte a), sabemos que:
Igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por $ v_0 $ para eliminar o denominador:
Agora, isolamos $ v_0 $:
Portanto, a velocidade inicial $ v_0 $ do foguete deve ser $ \sqrt{H g} $ para que a colisão ocorra quando o foguete atinge a sua altura máxima.
Resposta
a) O instante de tempo em que as bolas colidem é $ t = \frac{H}{v_0} $ segundos.
b) A velocidade inicial $ v_0 $ do foguete deve ser $ v_0 = \sqrt{H g} $.