Um jogador de futebol americano deve chutar uma bola a partir de um ponto localizado a
das traves, que estão a
do solo. Meça os ângulos a partir da horizontal. (a) Ele chuta a bola com velocidade inicial de
, formando um ângulo de
. A bola passará acima da trave? (b) Qual é o menor ângulo de lançamento com o qual a bola poderá passar acima da trave?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um jogador chuta uma bola com velocidade inicial de 20 m/s, num ângulo de 53° acima da horizontal, e as traves estão a 36 m de distância, com a barra a 3,05 m de altura. O tema é Movimento de Projéteis em Física: a gente vai decompor o chute em duas direções (horizontal e vertical) e usar as fórmulas
x(t)=v₀⋅cosθ⋅t
y(t)=v₀⋅sinθ⋅t−½⋅g⋅t²
pra calcular a altura da bola quando ela chega na horizontal de 36 m. Depois, na parte (b), vamos achar o menor ângulo θ tal que a bola tenha y≥3,05 m nesse mesmo ponto.
x(t)=v₀⋅cosθ⋅t
y(t)=v₀⋅sinθ⋅t−½⋅g⋅t²
pra calcular a altura da bola quando ela chega na horizontal de 36 m. Depois, na parte (b), vamos achar o menor ângulo θ tal que a bola tenha y≥3,05 m nesse mesmo ponto.
Passo 2
Parte (a): achar o tempo t em que a bola percorre 36 m na horizontal.
Como no eixo x não tem aceleração (desprezando o ar),
x(t)=v₀⋅cosθ⋅t ⇒ t = x / (v₀⋅cosθ).
Substituindo v₀=20 m/s, θ=53° (cos 53°≈0,6) e x=36 m:
t = 36/(20⋅0.6) = 36/12 = 3 s.
Como no eixo x não tem aceleração (desprezando o ar),
x(t)=v₀⋅cosθ⋅t ⇒ t = x / (v₀⋅cosθ).
Substituindo v₀=20 m/s, θ=53° (cos 53°≈0,6) e x=36 m:
t = 36/(20⋅0.6) = 36/12 = 3 s.
Passo 3
Ainda no (a): agora calculamos a altura y nesse t=3 s.
Usamos
y(t)=v₀⋅sinθ⋅t − ½⋅g⋅t²,
com sin 53°≈0,8 e g=9,8 m/s²:
y = 20⋅0.8⋅3 − ½⋅9,8⋅3²
= 16⋅3 − 4,9⋅9
= 48 − 44,1
= 3,9 m.
Como 3,9 m > 3,05 m, a bola passa acima da trave.
Usamos
y(t)=v₀⋅sinθ⋅t − ½⋅g⋅t²,
com sin 53°≈0,8 e g=9,8 m/s²:
y = 20⋅0.8⋅3 − ½⋅9,8⋅3²
= 16⋅3 − 4,9⋅9
= 48 − 44,1
= 3,9 m.
Como 3,9 m > 3,05 m, a bola passa acima da trave.
Passo 4
Parte (b): achar o menor ângulo θ pra que, na distância x=36 m, a altura y seja ≥3,05 m.
- Escrevemos a fórmula da altura em função de θ e de x (eliminando t):
t = x/(v₀ cosθ) →
y = v₀ sinθ⋅(x/(v₀ cosθ)) − ½g⋅(x/(v₀ cosθ))²
= x tanθ − (g x²)/(2 v₀² cos²θ). - Impomos y = H = 3,05 m e definimos t = tanθ. Note que cos²θ = 1/(1+t²). Então:
3,05 = x t − (g x²)/(2 v₀²)⋅(1+t²). - Organizando como uma equação quadrática em t:
(g x²)/(2 v₀²)⋅t² − x⋅t + (3,05 + (g x²)/(2 v₀²)) = 0. - Chamando a = (g x²)/(2 v₀²), b = x, c = 3,05 + a, temos
a t² − b t + c = 0 ⇒
t = [b ± √(b² − 4ac)]/(2a). - Como queremos o menor ângulo, pegamos o sinal “−” na fórmula, calculamos t e depois θ = arctan(t).
Numericamente, com g=9,8, x=36, v₀=20:
a ≈15,876; b=36; c≈18,926 ⇒ Δ = b² −4ac ≈94,1 ⇒ √Δ≈9,7
t = (36 − 9,7)/(2⋅15,876) ≈0,828 ⇒ θ = arctan(0,828) ≈39,7°.
Resposta
(a) A bola atinge 3,9 m em x=36 m, então passa acima da trave de 3,05 m.
(b) O menor ângulo de lançamento para bater pelo menos 3,05 m é cerca de 39,7°.
(b) O menor ângulo de lançamento para bater pelo menos 3,05 m é cerca de 39,7°.