Um canhão de brinquedo utiliza uma mola para projetar um tarugo de plástico de massa m. A mola do canhão tem constante elástica k e está inicialmente comprimida de L. Quando a mola é solta, o tarugo é arremessado e percorre 3 L pelo cano do canhão antes de ser lançado para fora. Existe um coeficiente de atrito \mu entre o cano do canhão e o tarugo. O canhão faz um ângulo \theta com a horizontal. Usando considerações de energia e expressando seus resultados em termos de m, L, k, \mu, \theta, h e g, determine:
a) O módulo da velocidade com que o tarugo deixa o canhão;
b) A altura máxima alcançada pelo tarugo em relação à posição de lançamento;
c) O módulo da velocidade do tarugo ao atingir o convés do navio pirata situado a uma altura h acima do nível de lançamento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. a velocidade (módulo) com que o tarugo deixa o canhão;
  2. a altura máxima alcançada pelo tarugo em relação à posição de lançamento;
  3. a velocidade (módulo) do tarugo ao atingir o convés do navio pirata situado a uma altura h acima do nível de lançamento.
Informações dadas (todas as letras são constantes conhecidas do enunciado):
  • massa do tarugo: m;
  • constante elástica da mola: k;
  • compressão inicial da mola: L (ou seja, energia elástica inicial associada a essa compressão);
  • deslocamento total do tarugo dentro do cano até sair: 3L (ou seja, percorre 3L ao longo do cano);
  • coeficiente de atrito entre tarugo e cano: \mu;
  • inclinação do canhão em relação à horizontal: \theta;
  • altura do convés em relação ao ponto de lançamento: h;
  • aceleração da gravidade: g.
Dados importantes que vou usar depois (aqui apenas listados, sem resolver ainda):
  • a força de atrito é dada por \mu multiplicada pela força normal;
  • ao se deslocar 3L ao longo do cano inclinado, há variação de energia potencial gravitacional ligada à componente vertical correspondente.

Passo 2

Vamos montar as expressões de energia e trabalho que aparecem no processo de lançamento (aqui explico cada termo e por que ele aparece).
  1. Energia armazenada na mola (energia potencial elástica).
  • Fórmula: \displaystyle U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}kL^{2}.
  • Explicação: uma mola comprimida de L armazena energia igual a \tfrac{1}{2}k x^{2} com x=L. Aqui k é a constante elástica (medida da “dureza” da mola) e L é a compressão.
  1. Trabalho da força de atrito ao longo do cano.
  • A força de atrito cinético (assumindo atrito simples proporcional à normal) é \displaystyle F_{\text{at}}=\mu N.
  • No cano inclinado a normal do tarugo é a componente do peso perpendicular ao cano: N = m g \cos\theta. Então
F_{\text{at}}=\mu m g \cos\theta.
  • O trabalho da força de atrito quando o tarugo percorre 3L ao longo do cano é (trabalho negativo, pois atrito retira energia)
W_{\text{at}} = -F_{\text{at}}\cdot(3L) = -\mu m g \cos\theta \cdot 3L.
  • Observação didática: o sinal negativo indica perda de energia mecânica para calor/atrito.
  1. Variação de energia potencial gravitacional enquanto o tarugo avança 3L pelo cano.
  • Deslocamento ao longo do cano = 3L. A elevação vertical correspondente é (3L)\sin\theta.
  • Portanto a variação de energia potencial gravitacional (ganho de energia) é
\Delta U_{g} = m g (3L \sin\theta) .
  • Explicação: energia potencial gravitacional é mgh; aqui h=(3L)\sin\theta.
  1. Energia cinética final ao sair do cano.
  • Se a velocidade na saída for v, a energia cinética é \tfrac{1}{2} m v^{2}. Esta é a energia disponível para o movimento de projétil imediatamente ao deixar o cano (após descontar perdas por atrito e ganho de gravidade).
  1. Balanço energético (princípio de conservação de energia com trabalho não conservativo).
  • A energia elástica inicial da mola se transforma em energia cinética final menos as perdas (trabalho da força de atrito) e mais o ganho em energia potencial gravitacional. Em forma de equação:
\tfrac{1}{2}kL^{2} + W_{\text{outros}} = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde W_{\text{outros}} representa trabalhos que reduzem a energia disponível (neste caso W_{\text{at}}) e a variação de energia potencial gravitacional aparece como termo que consome energia. Substituindo os termos que identificamos:
\tfrac{1}{2}kL^{2} - \mu m g \cos\theta \cdot 3L - m g (3L \sin\theta) = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Observação didática: escrevi os termos subtraídos porque ambos representam energia retirada da energia inicial da mola (o atrito dissipa e a subida aumenta energia potencial).

Passo 3

Agora isolo v a partir da equação do passo anterior, fazendo as manipulações algébricas passo a passo.
Equação:
\tfrac{1}{2}kL^{2} - 3\mu m g L \cos\theta - 3 m g L \sin\theta = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Multiplico ambos os lados por 2 para livrar dos \tfrac{1}{2}:
kL^{2} - 6\mu m g L \cos\theta - 6 m g L \sin\theta = m v^{2}.
Agora divido ambos os lados por m para obter v^{2}:
v^{2} = \frac{kL^{2}}{m} - 6 g L (\mu \cos\theta + \sin\theta).
Tomando raiz positiva (módulo da velocidade na saída):
v = \sqrt{\,\frac{kL^{2}}{m} - 6 g L ( \mu \cos\theta + \sin\theta )\, }.
Explicação didática final deste passo: a raiz só existe se o argumento for não negativo; fisicamente isso significa que a energia elástica inicial precisa ser suficiente para vencer atrito e levantar o projétil dentro do cano. Se o conteúdo da raiz for negativo, o tarugo não sai com velocidade real (não alcança a saída).

Passo 4

Agora calculamos a altura máxima alcançada em relação à posição de lançamento. Vou usar a decomposição da velocidade em componentes e a fórmula de movimento vertical.
  1. Componente vertical da velocidade na saída:
  • Se a velocidade de saída tem módulo v e o canhão forma ângulo \theta com a horizontal, a componente vertical é
v_{y0} = v \sin\theta.
Explicação: a componente vertical é o produto do módulo pela razão trigonométrica \sin\theta.
  1. Fórmula para altura máxima a partir da componente vertical:
  • A altura máxima (acréscimo de altitude em relação ao ponto de lançamento) alcançada por um projétil lançado com velocidade vertical inicial v_{y0} é
\Delta y_{\max} = \frac{v_{y0}^{2}}{2g}.
Justificativa: uso da conservação de energia cinética/gravidade na vertical ou a fórmula cinemática v^{2}=v_{0}^{2}-2g\Delta y com v=0 no ponto mais alto.
  1. Substituo v_{y0}=v\sin\theta e a expressão de v^{2} obtida no Passo 3:
\Delta y_{\max} = \frac{(v\sin\theta)^{2}}{2g} = \frac{v^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
Agora substituo v^{2}:
\Delta y_{\max} = \frac{1}{2g}\,\sin^{2}\theta\left(\frac{kL^{2}}{m} - 6 g L (\mu\cos\theta + \sin\theta)\right).
Posso distribuir para uma forma levemente mais simples se desejar:
\Delta y_{\max} = \frac{kL^{2}\sin^{2}\theta}{2 m g} - 3 L \sin^{2}\theta\,(\mu\cos\theta + \sin\theta).
Explicação didática: a primeira parcela mostra quanto a energia elástica contribui para a subida vertical (ponderada por \sin^{2}\theta), e a segunda parcela subtrai a energia “gasta” já dentro do cano para vencer atrito e ganho de altura antes do projétil sair.

Passo 5

Por fim, calculo o módulo da velocidade do tarugo ao atingir o convés do navio que está a uma altura h acima da posição de lançamento.
  1. Conservação de energia na fase de voo (apenas peso atua, sem outras forças dissipativas no ar supondo ar desprezível): a energia cinética na saída menos o trabalho da gravidade para subir h vale a energia cinética ao chegar ao convés. Em termos de velocidades:
\tfrac{1}{2} m v^{2} - m g h = \tfrac{1}{2} m v_{\text{final}}^{2}.
  1. Isolando v_{\text{final}}^{2}:
v_{\text{final}}^{2} = v^{2} - 2 g h.
  1. Substituo a expressão de v^{2} do Passo 3:
v_{\text{final}}^{2} = \frac{kL^{2}}{m} - 6 g L (\mu\cos\theta + \sin\theta) - 2 g h.
  1. Portanto o módulo da velocidade ao atingir o convés é
v_{\text{final}} = \sqrt{\,\frac{kL^{2}}{m} - 6 g L (\mu\cos\theta + \sin\theta) - 2 g h\, }.
Observação didática: novamente, a raiz exige argumento não negativo; se for negativo, o projétil não chega ao convés (não tem energia suficiente para atingir a altura h).

Resposta

v=\sqrt{\,\dfrac{kL^{2}}{m}-6gL\big(\mu\cos\theta+\sin\theta\big)\,}
\displaystyle \Delta y_{\max}=\frac{\sin^{2}\theta}{2g}\left(\dfrac{kL^{2}}{m}-6gL\big(\mu\cos\theta+\sin\theta\big)\right)
\displaystyle v_{\text{impact}}=\sqrt{\,\dfrac{kL^{2}}{m}-6gL\big(\mu\cos\theta+\sin\theta\big)-2gh\,}

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