Um canhão de brinquedo utiliza uma mola para projetar um tarugo de plástico de massa
. A mola do canhão tem constante elástica
e está inicialmente comprimida de
. Quando a mola é solta, o tarugo é arremessado e percorre
pelo cano do canhão antes de ser lançado para fora. Existe um coeficiente de atrito
entre o cano do canhão e o tarugo. O canhão faz um ângulo
com a horizontal. Usando considerações de energia e expressando seus resultados em termos de
e
, determine:
a) O módulo da velocidade com que o tarugo deixa o canhão;
b) A altura máxima alcançada pelo tarugo em relação à posição de lançamento;
c) O módulo da velocidade do tarugo ao atingir o convés do navio pirata situado a uma altura
acima do nível de lançamento.
a) O módulo da velocidade com que o tarugo deixa o canhão;
b) A altura máxima alcançada pelo tarugo em relação à posição de lançamento;
c) O módulo da velocidade do tarugo ao atingir o convés do navio pirata situado a uma altura
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- a velocidade (módulo) com que o tarugo deixa o canhão;
- a altura máxima alcançada pelo tarugo em relação à posição de lançamento;
- a velocidade (módulo) do tarugo ao atingir o convés do navio pirata situado a uma altura
acima do nível de lançamento.
Informações dadas (todas as letras são constantes conhecidas do enunciado):
- massa do tarugo:
; - constante elástica da mola:
; - compressão inicial da mola:
(ou seja, energia elástica inicial associada a essa compressão); - deslocamento total do tarugo dentro do cano até sair:
(ou seja, percorre ao longo do cano); - coeficiente de atrito entre tarugo e cano:
; - inclinação do canhão em relação à horizontal:
; - altura do convés em relação ao ponto de lançamento:
; - aceleração da gravidade:
.
Dados importantes que vou usar depois (aqui apenas listados, sem resolver ainda):
- a força de atrito é dada por
multiplicada pela força normal; - ao se deslocar
ao longo do cano inclinado, há variação de energia potencial gravitacional ligada à componente vertical correspondente.
Passo 2
Vamos montar as expressões de energia e trabalho que aparecem no processo de lançamento (aqui explico cada termo e por que ele aparece).
- Energia armazenada na mola (energia potencial elástica).
- Fórmula:
- Explicação: uma mola comprimida de
armazena energia igual a com . Aqui é a constante elástica (medida da “dureza” da mola) e é a compressão.
- Trabalho da força de atrito ao longo do cano.
- A força de atrito cinético (assumindo atrito simples proporcional à normal) é
- No cano inclinado a normal do tarugo é a componente do peso perpendicular ao cano:
. Então
- O trabalho da força de atrito quando o tarugo percorre
ao longo do cano é (trabalho negativo, pois atrito retira energia)
- Observação didática: o sinal negativo indica perda de energia mecânica para calor/atrito.
- Variação de energia potencial gravitacional enquanto o tarugo avança
pelo cano.
- Deslocamento ao longo do cano =
. A elevação vertical correspondente é . - Portanto a variação de energia potencial gravitacional (ganho de energia) é
- Explicação: energia potencial gravitacional é
; aqui .
- Energia cinética final ao sair do cano.
- Se a velocidade na saída for
, a energia cinética é . Esta é a energia disponível para o movimento de projétil imediatamente ao deixar o cano (após descontar perdas por atrito e ganho de gravidade).
- Balanço energético (princípio de conservação de energia com trabalho não conservativo).
- A energia elástica inicial da mola se transforma em energia cinética final menos as perdas (trabalho da força de atrito) e mais o ganho em energia potencial gravitacional. Em forma de equação:
onde
representa trabalhos que reduzem a energia disponível (neste caso
) e a variação de energia potencial gravitacional aparece como termo que consome energia. Substituindo os termos que identificamos:
- Observação didática: escrevi os termos subtraídos porque ambos representam energia retirada da energia inicial da mola (o atrito dissipa e a subida aumenta energia potencial).
Passo 3
Agora isolo
a partir da equação do passo anterior, fazendo as manipulações algébricas passo a passo.
Equação:
Multiplico ambos os lados por
para livrar dos
:
Agora divido ambos os lados por
para obter
:
Tomando raiz positiva (módulo da velocidade na saída):
Explicação didática final deste passo: a raiz só existe se o argumento for não negativo; fisicamente isso significa que a energia elástica inicial precisa ser suficiente para vencer atrito e levantar o projétil dentro do cano. Se o conteúdo da raiz for negativo, o tarugo não sai com velocidade real (não alcança a saída).
Passo 4
Agora calculamos a altura máxima alcançada em relação à posição de lançamento. Vou usar a decomposição da velocidade em componentes e a fórmula de movimento vertical.
- Componente vertical da velocidade na saída:
- Se a velocidade de saída tem módulo
e o canhão forma ângulo com a horizontal, a componente vertical é
Explicação: a componente vertical é o produto do módulo pela razão trigonométrica
.
- Fórmula para altura máxima a partir da componente vertical:
- A altura máxima (acréscimo de altitude em relação ao ponto de lançamento) alcançada por um projétil lançado com velocidade vertical inicial
é
Justificativa: uso da conservação de energia cinética/gravidade na vertical ou a fórmula cinemática
com
no ponto mais alto.
- Substituo
e a expressão de obtida no Passo 3:
Agora substituo
:
Posso distribuir para uma forma levemente mais simples se desejar:
Explicação didática: a primeira parcela mostra quanto a energia elástica contribui para a subida vertical (ponderada por
), e a segunda parcela subtrai a energia “gasta” já dentro do cano para vencer atrito e ganho de altura antes do projétil sair.
Passo 5
Por fim, calculo o módulo da velocidade do tarugo ao atingir o convés do navio que está a uma altura
acima da posição de lançamento.
- Conservação de energia na fase de voo (apenas peso atua, sem outras forças dissipativas no ar supondo ar desprezível): a energia cinética na saída menos o trabalho da gravidade para subir
vale a energia cinética ao chegar ao convés. Em termos de velocidades:
- Isolando
:
- Substituo a expressão de
do Passo 3:
- Portanto o módulo da velocidade ao atingir o convés é
Observação didática: novamente, a raiz exige argumento não negativo; se for negativo, o projétil não chega ao convés (não tem energia suficiente para atingir a altura
).