Uma pedra de peso w é atirada verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}. Suponha que uma força constante f, devido à resistência do ar, atue sobre a pedra durante o seu percurso.
Resolva esta questão usando conceitos de trabalho e energia.
  1. Mostre que a altura máxima atingida pela pedra é
h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g(1+f / w)}
  1. Mostre que a velocidade com que a pedra colide com o chão é
u=v_{0}\left(\frac{w-f}{w+f}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
  • Uma pedra de peso w é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}.
  • Há uma força constante de resistência do ar, de módulo f, que age sempre contra o movimento (ou seja, para cima quando a pedra vai para cima e para cima quando a pedra desce? — cuidado: na subida ela age para baixo, na descida ela age para cima; a ideia é que sempre se opõe ao deslocamento).
  • A pedra parte do chão (nível de referência) e depois volta a colidir com o chão.
Perguntas:
  1. Mostrar que a altura máxima atingida é
h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g(1+f / w)}.
  1. Mostrar que a velocidade com que a pedra colide com o chão ao retornar é
u=v_{0}\left(\frac{w-f}{w+f}\right)^{1 / 2}.
Observações implícitas que usarei sem perguntar: w é o peso da pedra e, portanto, w=mg, onde m é a massa e g a aceleração da gravidade; a resistência f é constante em módulo e sempre oposta ao movimento; e usarei o teorema trabalho-energia para relacionar energias e trabalhos.

Passo 2

Relembre: teorema trabalho-energia e definições úteis (aula curta e prática).
  • Energia cinética de uma massa m com velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Expliquei: é a “energia de movimento”; se a velocidade dobra, a energia aumenta por quatro, porque depende de v^{2}.
  • Trabalho realizado por uma força constante F ao deslocar um corpo por uma distância s na mesma linha é
W=F s
quando a força e o deslocamento têm a mesma direção; se a força for contra o deslocamento, o trabalho é negativo. (Para forças e deslocamentos não colineares usa-se produto escalar, mas aqui é tudo unidimensional vertical.)
  • Teorema trabalho-energia: a variação da energia cinética entre dois pontos é igual ao trabalho total realizado sobre o corpo pelas forças externas:
\Delta K = W_{\text{total}}.
Isto é, K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}} = soma dos trabalhos das forças que atuam.
Também é útil lembrar que o trabalho da força peso ao deslocar o corpo verticalmente por altura h (subida) é -w h se tomarmos o deslocamento para cima positivo, porque o peso aponta para baixo. Como w=mg, veremos isso em contas.

Passo 3

Cálculo da altura máxima h usando trabalho-energia na subida.
Situação: entre o instante do lançamento (no chão, velocidade v_{0}) e o instante em que a pedra alcança o ponto mais alto (velocidade zero), aplicamos o teorema trabalho-energia.
  • Energia cinética inicial:
K_i=\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2}.
  • Energia cinética final no topo:
K_f=0\quad(\text{velocidade nula no ponto mais alto}).
  • Trabalhos das forças ao subir de 0 até h:
    • Trabalho da gravidade (peso) sobre o deslocamento h para cima: o peso aponta para baixo, deslocamento é para cima, então o trabalho é negativo e tem módulo w h; portanto
    W_{\text{peso}} = -w h.
    • Trabalho da resistência do ar: resistência tem módulo f e age para baixo durante a subida (oposta ao deslocamento), então também faz trabalho negativo de módulo f h:
    W_{\text{ar}} = -f h.
  • Trabalho total na subida:
W_{\text{total}} = W_{\text{peso}} + W_{\text{ar}} = -(w+f)h.
Aplicando o teorema trabalho-energia:
K_f - K_i = W_{\text{total}}.
Substituindo os valores:
0 - \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} = -(w+f)h.

Passo 4

Resolvendo a equação obtida para h.
A equação do passo anterior é
-\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} = -(w+f)h.
Multiplicando por -1:
\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} = (w+f)h.
Isolando h:
h = \frac{\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2}}{w+f}.
Agora usar w=mg para escrever em termos de g. Note que
\frac{w+f}{m} = \frac{w}{m} + \frac{f}{m} = g + \frac{f}{m} = g\left(1 + \frac{f}{w}\right),
porque \dfrac{f}{m} = \dfrac{f}{w}\cdot \dfrac{w}{m} = \dfrac{f}{w}\,g. Assim
h = \frac{\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2}}{w+f} = \frac{v_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{m}{w+f} = \frac{v_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{1}{(w+f)/m} = \frac{v_{0}^{2}}{2g\left(1+\dfrac{f}{w}\right)}.
Isso é exatamente a fórmula pedida:
\boxed{\,h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2 g\left(1+f / w\right)}\,}.
Breve comentário físico/intuitivo: o termo 1+f/w reduz a altura em relação ao caso sem resistência ( f=0 h=v_0^2/(2g)); quanto maior f comparado a w, menor a altura.

Passo 5

Cálculo da velocidade u ao colidir com o chão usando trabalho-energia na descida.
Considere agora o movimento do ponto mais alto (velocidade zero) até o chão, deslocamento vertical h para baixo. Aplicamos novamente teorema trabalho-energia entre topo (inicial) e chão (final).
  • Energia cinética inicial no topo: K_i=0.
  • Energia cinética final no chão: K_f=\tfrac{1}{2} m u^{2}, onde u é a velocidade ao atingir o chão (módulo).
  • Trabalhos durante a descida de h:
    • Trabalho da gravidade: ao descer, a força peso e o deslocamento têm a mesma direção (para baixo), então o trabalho da gravidade é positivo e vale +w h:
    W_{\text{peso}} = +w h.
    • Trabalho da resistência do ar: na descida a resistência aponta para cima (oposta ao movimento), então faz trabalho negativo de módulo f h:
    W_{\text{ar}} = -f h.
  • Trabalho total durante a descida:
W_{\text{total}} = w h - f h = (w-f)h.
Aplicando o teorema trabalho-energia:
K_f - K_i = W_{\text{total}}
ou seja
\tfrac{1}{2} m u^{2} - 0 = (w-f)h.
Portanto
\tfrac{1}{2} m u^{2} = (w-f)h.

Passo 6

Substituir a expressão de h obtida antes e isolar u.
Da Passo 4 temos
h = \frac{\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2}}{w+f}.
Substituindo em \tfrac{1}{2} m u^{2} = (w-f)h:
\tfrac{1}{2} m u^{2} = (w-f)\cdot \frac{\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2}}{w+f}.
Podemos cancelar \tfrac{1}{2} m dos dois lados (não é zero), obtendo:
u^{2} = v_{0}^{2}\cdot \frac{w-f}{w+f}.
Tomando raiz positiva (velocidade positiva em módulo):
u = v_{0}\left(\frac{w-f}{w+f}\right)^{1/2}.
Observação física importante: para que u seja real (isto é, para a pedra realmente descer com velocidade real), precisamos de w>f; se f\ge w a resistência é tão grande que o peso não consegue acelerar a pedra para baixo (no limite f=w a pedra desceria com velocidade nula quando alcançasse equilíbrio terminal instantâneo). No problema foi assumido que a pedra volta ao chão, logo devemos ter w>f.

Resposta

h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2 g(1+f / w)}
u=v_{0}\left(\dfrac{w-f}{w+f}\right)^{1 / 2}

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