Uma pedra de peso
é atirada verticalmente para cima com velocidade inicial
. Suponha que uma força constante
, devido à resistência do ar, atue sobre a pedra durante o seu percurso.
Resolva esta questão usando conceitos de trabalho e energia.
- Mostre que a altura máxima atingida pela pedra é
- Mostre que a velocidade com que a pedra colide com o chão é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
- Uma pedra de peso
é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial . - Há uma força constante de resistência do ar, de módulo
, que age sempre contra o movimento (ou seja, para cima quando a pedra vai para cima e para cima quando a pedra desce? — cuidado: na subida ela age para baixo, na descida ela age para cima; a ideia é que sempre se opõe ao deslocamento). - A pedra parte do chão (nível de referência) e depois volta a colidir com o chão.
Perguntas:
- Mostrar que a altura máxima atingida é
- Mostrar que a velocidade com que a pedra colide com o chão ao retornar é
Observações implícitas que usarei sem perguntar:
é o peso da pedra e, portanto,
, onde
é a massa e
a aceleração da gravidade; a resistência
é constante em módulo e sempre oposta ao movimento; e usarei o teorema trabalho-energia para relacionar energias e trabalhos.
Passo 2
Relembre: teorema trabalho-energia e definições úteis (aula curta e prática).
- Energia cinética de uma massa
com velocidade é
Expliquei: é a “energia de movimento”; se a velocidade dobra, a energia aumenta por quatro, porque depende de
.
- Trabalho realizado por uma força constante
ao deslocar um corpo por uma distância na mesma linha é
quando a força e o deslocamento têm a mesma direção; se a força for contra o deslocamento, o trabalho é negativo. (Para forças e deslocamentos não colineares usa-se produto escalar, mas aqui é tudo unidimensional vertical.)
- Teorema trabalho-energia: a variação da energia cinética entre dois pontos é igual ao trabalho total realizado sobre o corpo pelas forças externas:
Isto é,
soma dos trabalhos das forças que atuam.
Também é útil lembrar que o trabalho da força peso ao deslocar o corpo verticalmente por altura
(subida) é
se tomarmos o deslocamento para cima positivo, porque o peso aponta para baixo. Como
, veremos isso em contas.
Passo 3
Cálculo da altura máxima
usando trabalho-energia na subida.
Situação: entre o instante do lançamento (no chão, velocidade
) e o instante em que a pedra alcança o ponto mais alto (velocidade zero), aplicamos o teorema trabalho-energia.
- Energia cinética inicial:
- Energia cinética final no topo:
- Trabalhos das forças ao subir de
até : - Trabalho da gravidade (peso) sobre o deslocamento
para cima: o peso aponta para baixo, deslocamento é para cima, então o trabalho é negativo e tem módulo ; portanto
- Trabalho da resistência do ar: resistência tem módulo
e age para baixo durante a subida (oposta ao deslocamento), então também faz trabalho negativo de módulo :
- Trabalho da gravidade (peso) sobre o deslocamento
- Trabalho total na subida:
Aplicando o teorema trabalho-energia:
Substituindo os valores:
Passo 4
Resolvendo a equação obtida para
.
A equação do passo anterior é
Multiplicando por
:
Isolando
:
Agora usar
para escrever em termos de
. Note que
porque
. Assim
Isso é exatamente a fórmula pedida:
Breve comentário físico/intuitivo: o termo
reduz a altura em relação ao caso sem resistência (
dá
); quanto maior
comparado a
, menor a altura.
Passo 5
Cálculo da velocidade
ao colidir com o chão usando trabalho-energia na descida.
Considere agora o movimento do ponto mais alto (velocidade zero) até o chão, deslocamento vertical
para baixo. Aplicamos novamente teorema trabalho-energia entre topo (inicial) e chão (final).
- Energia cinética inicial no topo:
. - Energia cinética final no chão:
, onde é a velocidade ao atingir o chão (módulo). - Trabalhos durante a descida de
: - Trabalho da gravidade: ao descer, a força peso e o deslocamento têm a mesma direção (para baixo), então o trabalho da gravidade é positivo e vale
:
- Trabalho da resistência do ar: na descida a resistência aponta para cima (oposta ao movimento), então faz trabalho negativo de módulo
:
- Trabalho da gravidade: ao descer, a força peso e o deslocamento têm a mesma direção (para baixo), então o trabalho da gravidade é positivo e vale
- Trabalho total durante a descida:
Aplicando o teorema trabalho-energia:
ou seja
Portanto
Passo 6
Substituir a expressão de
obtida antes e isolar
.
Da Passo 4 temos
Substituindo em
:
Podemos cancelar
dos dois lados (não é zero), obtendo:
Tomando raiz positiva (velocidade positiva em módulo):
Observação física importante: para que
seja real (isto é, para a pedra realmente descer com velocidade real), precisamos de
; se
a resistência é tão grande que o peso não consegue acelerar a pedra para baixo (no limite
a pedra desceria com velocidade nula quando alcançasse equilíbrio terminal instantâneo). No problema foi assumido que a pedra volta ao chão, logo devemos ter
.