Um canhão dispara projéteis com velocidade v0=200 m / s, a partir do solo horizontal. Considere que, no local de disparos, a aceleração da gravidade seja de 10 m / s^2 e despreze a resistência do ar.
A) Qual o ângulo ( theta ) de disparo, com a horizontal, que permite o maior alcance horizontal de um projétil?
B) Qual o maior alcance horizontal, em quilômetros, que um projétil disparado por esse canhão pode atingir?

Passo 1

O enunciado descreve o movimento de um projétil lançado do solo com velocidade inicial v0=200 m/s, sob aceleração da gravidade g=10 m/s^2, sem resistência do ar. Queremos (A) o ângulo theta que maximiza o alcance horizontal e (B) o valor desse alcance em quilômetros. Para isso, vamos decompor o movimento em horizontal e vertical, calcular o tempo de voo e obter a expressão do alcance R(theta).

Passo 2

Na direção vertical, a posição é dada por
y(t)=v0sin(theta),t-tfrac12,g,t^2
O projétil volta ao solo quando y(t)=0 com tneq0, o que leva a
tvoo=2,v0sin(theta)g
Na direção horizontal, a velocidade é constante v0cos(theta), logo o alcance R é
R(theta)=v0cos(theta),tvoo =2,v0^2sin(theta)cos(theta)g =v0^2sin(2theta)g

Passo 3

Para maximizar R(theta), basta maximizar sin(2theta). Como o valor máximo de sin é 1, temos
sin(2theta)=1 Longrightarrow 2theta=90^circ Longrightarrow theta=45^circ

Passo 4

Substituindo theta=45^circ em R(theta),
Rmax=v0^2g =(200)^210 =4000 m =4 km

Resposta

A) theta=45^circ
B) 4 km

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