1. A densidade de probabilidade radial para o átomo de hidrogênio em seu estado fundamental se escreve
P1 s(r)=(4 r^2a0^3) e^-2 r / a0
Calcule o valor mais provável de r para um elétron neste caso.
Dica: O valor mais provável de r corresponde ao máximo da função P1 s(r).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade radial do estado fundamental do átomo de hidrogênio
P1s(r)=gl(4,r^2a0^3gr)e^-2r/a0
e pede o valor de r que torna P1s(r) máximo. O método é clássico de cálculo de extremos: derivar em r, igualar a zero e verificar que é um máximo.

Passo 2

Para encontrar o extremo interno, impomos
dP1sdr=0
Como P1s(r) é produto de r^2 por e^-2r/a0, vamos calcular essa derivada.

Passo 3

Calculando a derivada, escrevemos
P1s(r)=4a0^3,r^2e^-2r/a0,
logo por regra do produto
dP1sdr =4a0^3l(2r,e^-2r/a0+r^2,e^-2r/a0l(-tfrac2a0r)r) =4,e^-2r/a0a0^3,rl(2-2ra0r)

Passo 4

Igualando a zero:
dP1sdr=0 Longrightarrow rl(2-tfrac2ra0r)=0
r=0 ou 2-tfrac2ra0=0. Como P1s(0)=0 é mínimo, o máximo ocorre quando
2-2ra0=0 Longrightarrow r=a0

Resposta

O valor mais provável de r é a0, isto é, o raio de Bohr.

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