Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial vo = 20 m/s e um ângulo θo = 60º com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um canhão que dispara um projétil com velocidade inicial de v0 = 20, m/s e um ângulo de 60^circ com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois pedaços de massas iguais. Um desses pedaços para de repente e cai verticalmente. A pergunta é: a que distância do canhão cai o outro pedaço? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento de projéteis e conservação da quantidade de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto mais alto da trajetória do projétil. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, e a velocidade horizontal permanece constante porque não tem resistência do ar. A velocidade inicial horizontal é dada por:
vx0 = v0 cdot cos(theta0) = 20, m/s cdot cos(60^circ) = 20, m/s cdot 0,5 = 10, m/s
Então, no ponto mais alto, a velocidade horizontal vx é 10, m/s.

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que o projétil leva para chegar ao ponto mais alto. A velocidade vertical inicial é:
vy0 = v0 cdot sin(theta0) = 20, m/s cdot sin(60^circ) approx 20, m/s cdot 0,8660 approx 17,32, m/s
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usando a equação:
vy = vy0 - g cdot t
Onde g = 9,8, m/s^2 é a aceleração da gravidade. Igualando vy = 0:
0 = 17,32, m/s - 9,8, m/s^2 cdot t Rightarrow t = 17,329,8 approx 1,767, s
Esse é o tempo para chegar ao ponto mais alto.

Passo 4

O tempo total de voo do projétil (ida e volta) é o dobro desse valor:
ttotal = 2 cdot t = 2 cdot 1,767, s approx 3,534, s
Agora, sabemos que no ponto mais alto ocorre a explosão.

Passo 5

Na explosão, o projétil se divide em dois fragmentos de massas iguais. Vamos chamar a massa de cada fragmento de m. A quantidade de movimento horizontal antes da explosão é:
pantes = mtotal cdot vx = 2m cdot 10, m/s = 20m, kg⋅m/s
Depois da explosão, um dos fragmentos para, então sua quantidade de movimento é zero. A quantidade de movimento total após a explosão deve ser igual à antes, pela conservação da quantidade de movimento:
pdepois = m cdot v' = 20m, kg⋅m/s
Então, o outro fragmento tem:
v' = 20mm = 20, m/s
Portanto, a velocidade horizontal do segundo fragmento após a explosão é 20, m/s.

Passo 6

Agora, vamos calcular quanto tempo o segundo fragmento demora para cair no chão após a explosão. No ponto mais alto, a altura máxima h é dada por:
h = vy0^22g = (17,32)^22 cdot 9,8 approx 30019,6 approx 15,31, m
Esse fragmento vai cair de uma altura de 15,31, m. O tempo de queda é obtido pela equação:
h = 12 g t^2 Rightarrow t^2 = 2hg Rightarrow t = raiz2 cdot 15,319,8 approx raiz30,629,8 approx raiz3,12 approx 1,77, s
Esse é o tempo que o fragmento leva para cair após a explosão.

Passo 7

Enquanto o segundo fragmento está caindo, ele continua se movendo horizontalmente com velocidade de 20, m/s. A distância horizontal que ele percorre durante o tempo de queda é:
d = v' cdot t = 20, m/s cdot 1,77, s approx 35,4, m
Essa é a distância que o segundo fragmento percorre após a explosão.

Resposta

O segundo fragmento cai a aproximadamente 35,4 metros de distância do canhão.

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