Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial vo = 20 m/s e um ângulo θo = 60º com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um canhão que dispara um projétil com velocidade inicial de
e um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois pedaços de massas iguais. Um desses pedaços para de repente e cai verticalmente. A pergunta é: a que distância do canhão cai o outro pedaço? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento de projéteis e conservação da quantidade de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto mais alto da trajetória do projétil. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, e a velocidade horizontal permanece constante porque não tem resistência do ar. A velocidade inicial horizontal é dada por:
Então, no ponto mais alto, a velocidade horizontal
é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo que o projétil leva para chegar ao ponto mais alto. A velocidade vertical inicial é:
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usando a equação:
Onde
é a aceleração da gravidade. Igualando
:
Esse é o tempo para chegar ao ponto mais alto.
Passo 4
O tempo total de voo do projétil (ida e volta) é o dobro desse valor:
Agora, sabemos que no ponto mais alto ocorre a explosão.
Passo 5
Na explosão, o projétil se divide em dois fragmentos de massas iguais. Vamos chamar a massa de cada fragmento de
. A quantidade de movimento horizontal antes da explosão é:
Depois da explosão, um dos fragmentos para, então sua quantidade de movimento é zero. A quantidade de movimento total após a explosão deve ser igual à antes, pela conservação da quantidade de movimento:
Então, o outro fragmento tem:
Portanto, a velocidade horizontal do segundo fragmento após a explosão é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular quanto tempo o segundo fragmento demora para cair no chão após a explosão. No ponto mais alto, a altura máxima
é dada por:
Esse fragmento vai cair de uma altura de
. O tempo de queda é obtido pela equação:
Esse é o tempo que o fragmento leva para cair após a explosão.
Passo 7
Enquanto o segundo fragmento está caindo, ele continua se movendo horizontalmente com velocidade de
. A distância horizontal que ele percorre durante o tempo de queda é:
Essa é a distância que o segundo fragmento percorre após a explosão.
Resposta
O segundo fragmento cai a aproximadamente 35,4 metros de distância do canhão.