Um canhão está numa planície e atira projéteis com v0=200 m / s. Ele está a 3 km de uma montanha que tem uma altura de 800 m . Suponha que o canhão precisa atirar projéteis sobre a montanha, para atingir a planície (mesma altura do ponto de partida), do outro lado da montanha. Qual o intervalo de ângulos possíveis para a inclinação do canhão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canhão numa planície que dispara projéteis com uma velocidade inicial de $ v_0 = 200 , m/s $. Esse canhão está a 3 km de uma montanha que tem 800 metros de altura. A ideia é encontrar os ângulos de inclinação possíveis para o canhão de modo que os projéteis passem por cima da montanha e atinjam a planície do outro lado, que está na mesma altura do ponto de partida.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolvem dividir o movimento em componentes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento uniformemente variado. Precisamos calcular o intervalo de ângulos que garante que o projétil esteja acima de 800 metros quando estiver a 3 km de distância e que retorne à mesma altura inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional:
  • Distância até a montanha: $ 3 , km = 3000 , m $
  • Altura da montanha: $ 800 , m $
  • Velocidade inicial: $ v_0 = 200 , m/s $

Passo 3

Vamos considerar o movimento do projétil. A posição horizontal ($ x x y y çã t $) são dadas por:
t
x(t) = v0 cdot cos(theta) cdot t
Onde:
  • $ \theta $ é o ângulo de lançamento.
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Nosso objetivo é garantir que, quando o projétil estiver a 3000 metros horizontalmente, sua altura seja pelo menos 800 metros. Primeiro, precisamos encontrar o tempo que o projétil leva para percorrer 3000 metros na direção horizontal.
Da equação de $ x(t) $:
x(t)

Passo 5

Agora, substituímos esse tempo na equação de $ y(t) $ para encontrar a altura do projétil aos 3000 metros:
y(t)
Simplificando:
y = v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2 = 200 cdot sin(theta) cdot 15cos(theta) - 12 cdot 9,8 cdot ( 15cos(theta) )^2
y = 200 cdot 15 cdot sin(theta)cos(theta) - 12 cdot 9,8 cdot 225cos^2(theta)

Passo 6

Queremos que essa altura seja pelo menos 800 metros:
3000 cdot tan(theta) - 1102,5cos^2(theta) >= 800
Vamos rearranjar a inequação:
3000 cdot tan(theta) - 800 >= 1102,5cos^2(theta)

Passo 7

Para simplificar, vamos dividir ambos os lados por 100:
30 cdot tan(theta) - 8 >= 11,025cos^2(theta)
Sabemos que $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $ e $ \frac{1}{\cos^2(\theta)} = 1 + \tan^2(\theta) $.
Substituindo:
tan(theta) = sin(theta)cos(theta)

Passo 8

Vamos chamar $ \tan(\theta) = t $, então a inequação fica:
tan(theta) = t
Expandindo:
30t - 8 >= 11,025 (1 + t^2)
Rearranjando todos os termos para um lado:
30t - 8 >= 11,025 + 11,025 t^2
11,025 t^2 - 30 t + (11,025 + 8) <= 0

Passo 9

Agora, temos uma inequação quadrática na forma $ at^2 + bt + c \leq 0 $. Para encontrar os valores de $ t $ que satisfazem isso, precisamos calcular as raízes da equação quadrática igualando a zero:
at^2 + bt + c <= 0
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
t
11,025 t^2 - 30 t + 19,025 = 0
De

Passo 10

Observamos que o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), o que significa que a equação quadrática não possui raízes reais. Isso implica que a inequação $ 11,025 t^2 - 30 t + 19,025 \leq 0 $ nunca será satisfeita para nenhum valor real de $ t $.

Passo 11

Como não há valores de $ \tan(\theta) $ que satisfaçam a inequação, isso indica que, com os dados fornecidos, não é possível encontrar um ângulo de lançamento que permita ao projétil passar por cima da montanha e voltar à planície do outro lado.

Resposta

Não existe nenhum ângulo de inclinação que permita ao projétil passar sobre a montanha e atingir a planície do outro lado com os dados fornecidos.

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