Um canhão está numa planície e atira projéteis com
. Ele está a 3 km de uma montanha que tem uma altura de 800 m . Suponha que o canhão precisa atirar projéteis sobre a montanha, para atingir a planície (mesma altura do ponto de partida), do outro lado da montanha. Qual o intervalo de ângulos possíveis para a inclinação do canhão?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canhão numa planície que dispara projéteis com uma velocidade inicial de $ v_0 = 200 , m/s $. Esse canhão está a 3 km de uma montanha que tem 800 metros de altura. A ideia é encontrar os ângulos de inclinação possíveis para o canhão de modo que os projéteis passem por cima da montanha e atinjam a planície do outro lado, que está na mesma altura do ponto de partida.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolvem dividir o movimento em componentes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento uniformemente variado. Precisamos calcular o intervalo de ângulos que garante que o projétil esteja acima de 800 metros quando estiver a 3 km de distância e que retorne à mesma altura inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional:
- Distância até a montanha: $ 3 , km = 3000 , m $
- Altura da montanha: $ 800 , m $
- Velocidade inicial: $ v_0 = 200 , m/s $
Passo 3
Vamos considerar o movimento do projétil. A posição horizontal ($ x
y
t $) são dadas por:
Onde:
- $ \theta $ é o ângulo de lançamento.
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Nosso objetivo é garantir que, quando o projétil estiver a 3000 metros horizontalmente, sua altura seja pelo menos 800 metros. Primeiro, precisamos encontrar o tempo que o projétil leva para percorrer 3000 metros na direção horizontal.
Da equação de $ x(t) $:
Passo 5
Agora, substituímos esse tempo na equação de $ y(t) $ para encontrar a altura do projétil aos 3000 metros:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que essa altura seja pelo menos 800 metros:
Vamos rearranjar a inequação:
Passo 7
Para simplificar, vamos dividir ambos os lados por 100:
Sabemos que $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $ e $ \frac{1}{\cos^2(\theta)} = 1 + \tan^2(\theta) $.
Substituindo:
Passo 8
Vamos chamar $ \tan(\theta) = t $, então a inequação fica:
Expandindo:
Rearranjando todos os termos para um lado:
Passo 9
Agora, temos uma inequação quadrática na forma $ at^2 + bt + c \leq 0 $. Para encontrar os valores de $ t $ que satisfazem isso, precisamos calcular as raízes da equação quadrática igualando a zero:
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 10
Observamos que o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), o que significa que a equação quadrática não possui raízes reais. Isso implica que a inequação $ 11,025 t^2 - 30 t + 19,025 \leq 0 $ nunca será satisfeita para nenhum valor real de $ t $.
Passo 11
Como não há valores de $ \tan(\theta) $ que satisfaçam a inequação, isso indica que, com os dados fornecidos, não é possível encontrar um ângulo de lançamento que permita ao projétil passar por cima da montanha e voltar à planície do outro lado.
Resposta
Não existe nenhum ângulo de inclinação que permita ao projétil passar sobre a montanha e atingir a planície do outro lado com os dados fornecidos.