Um canhão está numa planície e atira projéteis com v0=200 m / s. Ele está a 3 km de uma montanha que tem uma altura de 800 m . Suponha que o canhão precisa atirar projéteis sobre a montanha, para atingir a planície (mesma altura do ponto de partida), do outro lado da montanha. Qual o intervalo de pontos de impacto do projétil, do outro lado da montanha?

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte:
Um canhão lança um projétil com velocidade inicial a partir do nível do mar. A uma distância horizontal de 3 km ( m) tem uma montanha com altura de 800 m. A gente quer descobrir para quais pontos (distâncias horizontais) do outro lado da montanha o projétil pode aterrissar, desde que ele passe por cima dos 800 m no ponto m.
Conteúdo envolvido:
  • Movimento de projétil (equações paramétricas)
  • Trajetória
  • Condição de ultrapassar a montanha:
  • Fórmula do alcance
O que vamos precisar:
  1. Expressar em função de e do ângulo .
  2. Impor e achar os ângulos limites e .
  3. Calcular o alcance para esses ângulos e obter o intervalo de .

Passo 2

Primeiro, a trajetória do projétil é dada por:
x(t) = v0costheta;t, y(t) = v0sintheta;t - 12,g,t^2
Daí a gente isola o tempo t = xv0costheta em função de y(x) = v0sintheta;xv0costheta - 12,gl(xv0costhetar)^2 = xtantheta ;-;g,x^22,v0^2cos^2theta :
y(x)= x,T ;-;g,x^22,v0^2,l(1+T^2r), onde T=tantheta
Substituindo em y(3000)=3000,T ;-;g,3000^22,v0^2,(1+T^2);=;800 , vira
E como , escrevemos
Agora impomos a condição de ultrapassar a montanha em :

Passo 3

Vamos chamar
K=g,3000^22,v0^2 =9.8cdot(3000)^22cdot(200)^2 approx1102.5
A equação fica
3000,T ;-;K,(1+T^2)=800 ;Longrightarrow; -K,T^2 +3000,T -(K+800)=0
Ou seja
-1102.5,T^2 +3000,T -1902.5=0 Long<=ftrightarrow 1102.5,T^2 -3000,T +1902.5=0
Resolvendo essa quadrática em T1approx1.0063, T2approx1.7149 , achamos duas raízes:
theta1 = arctan(1.0063)approx45.2^circ, theta2 = arctan(1.7149)approx59.9^circ
Então os ângulos são

Passo 4

Finalmente, o alcance (no mesmo nível de onde saiu) é
R(theta)=v0^2sin(2theta)g
Para R1 = 200^2sin(90.4^circ)9.8 approx 40000cdot19.8 approx4082 m :
R2 = 200^2sin(119.8^circ)9.8 approx 40000cdot0.8689.8 approx3550 m
Para :

Resposta

O projétil pode cair num intervalo de aproximadamente
boxedRin[3550 m,;4080 m]
do canhão, garantindo que ele passe acima dos 800 m ao cruzar a montanha.

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