Um canhão está numa planície e atira projéteis com
. Ele está a 3 km de uma montanha que tem uma altura de 800 m . Suponha que o canhão precisa atirar projéteis sobre a montanha, para atingir a planície (mesma altura do ponto de partida), do outro lado da montanha. Qual o intervalo de pontos de impacto do projétil, do outro lado da montanha?
Passo 1
Beleza, então o exercício diz o seguinte:
Um canhão lança um projétil com velocidade inicial a partir do nível do mar. A uma distância horizontal de 3 km (
m) tem uma montanha com altura de 800 m. A gente quer descobrir para quais pontos (distâncias horizontais) do outro lado da montanha o projétil pode aterrissar, desde que ele passe por cima dos 800 m no ponto
m.
Um canhão lança um projétil com velocidade inicial
Conteúdo envolvido:
- Movimento de projétil (equações paramétricas)
- Trajetória
- Condição de ultrapassar a montanha:
- Fórmula do alcance
O que vamos precisar:
- Expressar
em função de e do ângulo . - Impor
e achar os ângulos limites e . - Calcular o alcance para esses ângulos e obter o intervalo de
.
Passo 2
Primeiro, a trajetória do projétil é dada por:
Daí a gente isola o tempo
em função de
:
Substituindo em
, vira
E como
, escrevemos
Agora impomos a condição de ultrapassar a montanha em
:
Passo 3
Vamos chamar
A equação fica
Ou seja
Resolvendo essa quadrática em
, achamos duas raízes:
Então os ângulos são
Passo 4
Finalmente, o alcance (no mesmo nível de onde saiu) é
Para
:
Para
:
Resposta
O projétil pode cair num intervalo de aproximadamente
do canhão, garantindo que ele passe acima dos 800 m ao cruzar a montanha.