Questão Extra: Obtenha as leis de Maxwell para um campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas
e
. Justifique o status de lei atribuído a estas duas equações e as interprete de um ponto de vista físico. (Desenhos e esquemas são bem vindos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente obter duas das famosas Leis de Maxwell que descrevem como o campo elétrico (
) se comporta quando há uma distribuição de cargas (
). Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente (
) e rotacional (
). Além disso, vamos interpretar o que essas equações significam fisicamente e por que elas são consideradas leis fundamentais da eletromagnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a divergente do campo elétrico, que é representada pela equação
. A divergente basicamente mede quão “espalhado” ou “fonte” de um campo está em um ponto. No contexto elétrico, isso significa que onde há carga (
), o campo elétrico está saindo ou entrando.
Para obter essa equação, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico (
) através de uma superfície fechada com a carga total (
) dentro dessa superfície:
Usando o teorema da divergência, que conecta o fluxo através de uma superfície com a divergente no volume, chegamos a:
Isso mostra que a divergente do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no ponto.
Passo 3
Agora, vamos para o rotacional do campo elétrico, representado por
. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. Se o rotacional é zero, isso significa que o campo é conservativo, ou seja, não tem “redemoinhos”.
Essa equação vem da condição de estática elétrica, onde as cargas estão em repouso e não há variação temporal dos campos magnéticos. Nessa situação, a Lei de Faraday da Indução Simplificada nos diz que:
Como não há variação no tempo (
), temos:
Isso mostra que, em condições estáticas, o campo elétrico não tem rotacional.
Passo 4
Agora que temos as duas equações, vamos justificar o status de lei atribuído a elas:
-
: Essa é a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, uma das quatro Leis de Maxwell. Ela fundamenta como as cargas elétricas são fontes do campo elétrico. -
: Essa equação representa a condição de ausência de variação temporal do campo magnético, derivada da Lei de Faraday em situações estáticas. Também faz parte das Leis de Maxwell e caracteriza o campo elétrico como conservativo em tais condições.
Passo 5
Por fim, vamos interpretar essas equações fisicamente:
-
Divergente do Campo Elétrico (
): Indica que cargas elétricas criam “fontes” ou “sumidouros” no campo elétrico. Onde há carga positiva, o campo sai, e onde há carga negativa, o campo entra. -
Rotacional do Campo Elétrico (
): Significa que, em condições estáticas, o campo elétrico não circula em torno de nenhum ponto; ele é direcionado diretamente de cargas positivas para negativas, sem formar redemoinhos.
Resposta
Obtivemos as duas Leis de Maxwell para o campo elétrico em condições estáticas:
Essas equações mostram que cargas elétricas são fontes do campo elétrico e que, em situações estáticas, o campo elétrico é conservativo, sem rotacional.