Um cano de água, de diâmetro interno 1,0 pol, transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 3,0 pés/s e a uma pressão de
25 \mathrm{lb} / \mathrm{pol}^{2}. Se o cano for reduzido para 1 / 2 pol e direcionado para o segundo andar, 25 pés acima, quais serão (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo andar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • Diâmetro interno inicial do cano: \,d_1 = 1{,}0\\ \mathrm{pol}.
  • Velocidade no cano inicial: \,v_1 = 3{,}0\\ \mathrm{ft/s}.
  • Pressão no cano inicial: \,p_1 = 25\\ \mathrm{lb/pol}^2.
  • O cano é reduzido para diâmetro: \,d_2 = \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{pol}.
  • A seção reduzida leva a água até o segundo andar, que está \,25\\ \mathrm{ft} acima (diferença de cota): \,\Delta z = 25\\ \mathrm{ft}.
Perguntas:
(a) Qual será a velocidade da água no segundo andar ( v_2)?
(b) Qual será a pressão da água no segundo andar ( p_2)?
Observação: aqui eu não resolvo nada ainda, só listei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Escolhendo as hipóteses físicas (importante antes de começar a conta):
  • Fluxo estacionário, incompressível (água), sem perdas por atrito ao longo do trecho (vamos usar a forma ideal da equação de Bernoulli).
  • As áreas transversais são circulares e a velocidade média é uniforme em cada seção (usamos a equação de continuidade).
    Essas hipóteses são as típicas para problemas introdutórios; se houvesse perdas precisaríamos de coeficiente de atrito ou energia dissipada.

Passo 3

Usando a equação da continuidade (conservação de massa para fluxo incompressível):
A vazão volumétrica Q é a mesma nas duas seções, logo
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção e v a velocidade média. Para seção circular,
A = \frac{\pi d^2}{4},
onde \,d é o diâmetro. Portanto
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\frac{d_1^2}{d_2^2}.
Agora aplicamos os valores: \,d_1 = 1{,}0\\ \mathrm{pol} e \,d_2 = 0{,}5\\ \mathrm{pol}, então
\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{1{,}0^2}{0{,}5^2} = \frac{1}{0{,}25} = 4.
Logo
v_2 = 4\,v_1 = 4\cdot 3{,}0 = 12{,}0\\ \mathrm{ft/s}.
Interpretação curta: ao reduzir o diâmetro para metade, a área cai por fator 4, então a velocidade sobe por fator 4.

Passo 4

Agora vamos calcular a pressão no segundo andar usando a equação de Bernoulli entre a seção 1 (no cano inicial) e a seção 2 (no segundo andar), na forma de alturas de energia:
\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2,
onde:
  • \,p é a pressão (forças por área),
  • \,\gamma é o peso específico do fluido ( \gamma = 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft}^3 para água),
  • \,v é a velocidade média,
  • \,g é a aceleração da gravidade ( g \approx 32{,}2\\ \mathrm{ft/s}^2),
  • \,z é a cota (altura).
    Queremos \,p_2. Reorganizando:
\frac{p_2}{\gamma} = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} - \frac{v_2^2}{2g} - (z_2-z_1).
Note que (z_2-z_1)=\Delta z=25\\ \mathrm{ft}.
Antes de calcular, precisamos colocar \,p_1 em unidades compatíveis com \gamma (que está em \mathrm{lb/ft}^3). O valor dado \,p_1 está em \mathrm{lb/pol}^2 (psi). Conversão:
1\\ \mathrm{lb/pol}^2 = 1\\ \mathrm{psi} = 144\\ \mathrm{lb/ft}^2.
Portanto
p_1 = 25\\ \mathrm{lb/pol}^2 = 25\cdot 144 = 3600\\ \mathrm{lb/ft}^2.
Agora calculemos passo a passo os termos de energia (em pés de coluna d’água, unidade de cabeça):
Cabeça de pressão inicial:
\frac{p_1}{\gamma} = \frac{3600}{62{,}4} \approx 57{,}69\\ \mathrm{ft}.
Cabeça de velocidade inicial:
\frac{v_1^2}{2g} = \frac{3{,}0^2}{2\cdot 32{,}2} = \frac{9}{64{,}4} \approx 0{,}140\\ \mathrm{ft}.
Cabeça de velocidade na seção 2:
\frac{v_2^2}{2g} = \frac{12{,}0^2}{2\cdot 32{,}2} = \frac{144}{64{,}4} \approx 2{,}234\\ \mathrm{ft}.
Substituindo em Bernoulli:
\frac{p_2}{\gamma} \approx 57{,}69 + 0{,}14 - 2{,}234 - 25 = 30{,}596\\ \mathrm{ft}.

Passo 5

Convertendo de volta para pressão em unidades usuais ( \mathrm{lb/ft}^2 e depois para \mathrm{lb/pol}^2):
p_2 = \gamma\cdot \frac{p_2}{\gamma} \approx 62{,}4\cdot 30{,}596 \approx 1908{,}7\\ \mathrm{lb/ft}^2.
Convertendo para \mathrm{lb/pol}^2 (psi):
p_2 = \frac{1908{,}7}{144} \approx 13{,}25\\ \mathrm{lb/pol}^2.
Interpretação rápida: a pressão caiu de 25\\ \mathrm{psi} para cerca de 13{,}25\\ \mathrm{psi} devido ao aumento da velocidade e ao ganho de altura de 25\\ \mathrm{ft}.

Resposta

(a) v_2 = 12{,}0\\ \mathrm{ft/s}
(b) p_2 \approx 13{,}25\\ \mathrm{lb/pol}^2

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