Um cano de água, de diâmetro interno 1,0 pol, transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 3,0 pés/s e a uma pressão de
. Se o cano for reduzido para
pol e direcionado para o segundo andar, 25 pés acima, quais serão (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo andar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- Diâmetro interno inicial do cano:
. - Velocidade no cano inicial:
. - Pressão no cano inicial:
. - O cano é reduzido para diâmetro:
. - A seção reduzida leva a água até o segundo andar, que está
acima (diferença de cota): .
Perguntas:
(a) Qual será a velocidade da água no segundo andar ( )?
(b) Qual será a pressão da água no segundo andar ( )?
(a) Qual será a velocidade da água no segundo andar (
(b) Qual será a pressão da água no segundo andar (
Observação: aqui eu não resolvo nada ainda, só listei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Escolhendo as hipóteses físicas (importante antes de começar a conta):
- Fluxo estacionário, incompressível (água), sem perdas por atrito ao longo do trecho (vamos usar a forma ideal da equação de Bernoulli).
- As áreas transversais são circulares e a velocidade média é uniforme em cada seção (usamos a equação de continuidade).
Essas hipóteses são as típicas para problemas introdutórios; se houvesse perdas precisaríamos de coeficiente de atrito ou energia dissipada.
Passo 3
Usando a equação da continuidade (conservação de massa para fluxo incompressível):
A vazão volumétrica é a mesma nas duas seções, logo
A vazão volumétrica
onde
é a área da seção e
a velocidade média. Para seção circular,
onde
é o diâmetro. Portanto
Agora aplicamos os valores:
e
, então
Logo
Interpretação curta: ao reduzir o diâmetro para metade, a área cai por fator 4, então a velocidade sobe por fator 4.
Passo 4
Agora vamos calcular a pressão no segundo andar usando a equação de Bernoulli entre a seção 1 (no cano inicial) e a seção 2 (no segundo andar), na forma de alturas de energia:
onde:
-
é a pressão (forças por área), -
é o peso específico do fluido ( para água), -
é a velocidade média, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a cota (altura).
Queremos. Reorganizando:
Note que
.
Antes de calcular, precisamos colocar
em unidades compatíveis com
(que está em
). O valor dado
está em
(psi). Conversão:
Portanto
Agora calculemos passo a passo os termos de energia (em pés de coluna d’água, unidade de cabeça):
Cabeça de pressão inicial:
Cabeça de velocidade inicial:
Cabeça de velocidade na seção 2:
Substituindo em Bernoulli:
Passo 5
Convertendo de volta para pressão em unidades usuais (
e depois para
):
Convertendo para
(psi):
Interpretação rápida: a pressão caiu de
para cerca de
devido ao aumento da velocidade e ao ganho de altura de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)