Uma mangueira de jardim, de diâmetro interno 0,75 pol, é conectada a um esguicho que consiste em um cano com 24 furos, cada um com 0,050 pol de diâmetro. Se a água na mangueira tiver velocidade de 3,0 pés / \mathrm{s}, com que velocidade ela sairá dos buracos do esguicho?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade da água saindo dos furos do esguicho, e fornece os seguintes dados:
\text{diâmetro da mangueira } d_m = 0{,}75\\ \mathrm{pol}â
\text{número de furos } n = 24ú
\text{diâmetro de cada furo } d_f = 0{,}050\\ \mathrm{pol}â
\text{velocidade da água na mangueira } v_m = 3{,}0\\ \mathrm{ft/s}á
A pergunta é: com que velocidade v_f a água sairá de cada furo?

Passo 2

Princípio usado (explicando didaticamente): para fluido incompressível em escoamento estacionário, a vazão volumétrica que entra deve ser igual à vazão total que sai. Vazão volumétrica Q é a área da seção transversal multiplicada pela velocidade média nessa seção. Se A_m é a área interna da mangueira e A_f a área de um furo, então:
Q_{\text{entrada}} = A_m v_m
Q_{\text{saída total}} = n \, A_f v_fí
Como Q_{\text{entrada}} = Q_{\text{saída total}}í, temos:
A_m v_m = n \, A_f v_f.
Isolando v_f:
v_f = \frac{A_m}{n A_f}\,v_m.
Agora, lembrando que a área de um círculo em função do diâmetro é
A=\frac{\pi d^2}{4},
podemos escrever a razão de áreas apenas em função dos diâmetros:
\frac{A_m}{A_f}=\frac{\pi d_m^2/4}{\pi d_f^2/4}=\frac{d_m^2}{d_f^2}.
Logo:
v_f=\frac{d_m^2}{n\,d_f^2}\;v_m.
Explicação das variáveis para você: d_m é o diâmetro interno da mangueira, d_f é o diâmetro de um furo, n é o número de furos, v_m é a velocidade na mangueira e v_f é a velocidade em cada furo.

Passo 3

Agora substituímos os valores fornecidos. Observação prática: como ambos os diâmetros estão em polegadas, a razão \dfrac{d_m^2}{d_f^2} é adimensional e independente da unidade; v_m está em \mathrm{ft/s}, então v_f virá em \mathrm{ft/s}.
d_m=0{,}75\\ \mathrm{pol},\qquad d_f=0{,}050\\ \mathrm{pol},\qquad n=24,\qquad v_m=3{,}0\\ \mathrm{ft/s}.
Calculemos d_m^2 e d_f^2:
d_m^2=(0{,}75)^2=0{,}5625
d_f^2=(0{,}050)^2=0{,}0025
Multiplicando n d_f^2:
n\,d_f^2=24\times 0{,}0025=0{,}06
Agora a razão:
\frac{d_m^2}{n\,d_f^2}=\frac{0{,}5625}{0{,}06}=9{,}375
Finalmente:
v_f=9{,}375\times v_m=9{,}375\times 3{,}0=28{,}125\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 4

Interpretação e arredondamento: portanto a velocidade teórica de saída em cada furo é aproximadamente 28{,}1\\ \mathrm{ft/s}. Observação física importante (para a prova): esse resultado vem de conservação de vazão assumindo fluido incompressível, escoamento estacionário e sem perdas por atrito, contração do jato ou efeitos viscosos nas bocas dos furos. Na prática a velocidade real pode ser um pouco menor por perdas.

Resposta

28{,}1\\ \mathrm{ft/s}

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