O cano que leva a água da rua até o topo de um prédio tem diâmetro constante de 50 mm e sua vazão é de 0,6 litro por segundo. Sabendo que a pressão no cano ao nível da rua é de 380 kPa , calcule: (a) a velocidade de escoamento da água pelo cano e (b) a pressão da água à altura do teto do 60 andar, que se situa a 20 m e 40 cm acima do nível da rua.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar quais conceitos vamos usar. A gente tem um cano com diâmetro constante de 50 mm que transporta água a uma vazão de 0,6 litro por segundo. A pressão no cano, no nível da rua, é de 380 kPa.
Precisamos calcular:
a) A velocidade de escoamento da água pelo cano.
b) A pressão da água no teto do 60º andar, que fica a 20,4 metros acima do nível da rua.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vazão, área de seção transversal e a equação de Bernoulli para a pressão em diferentes alturas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular a velocidade de escoamento da água pelo cano.
Primeiro, precisamos entender que a vazão ( Q ) é a quantidade de água que passa pelo cano por segundo, e está relacionada com a área da seção transversal do cano ( A ) e a velocidade do fluxo ( v ) pela fórmula:
Q = A times v
A gente quer encontrar v , então vamos rearranjar a fórmula:
v = QA

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do cano. O cano tem diâmetro de 50 mm, mas vamos converter para metros para facilitar os cálculos:
D = 50 mm = 0,05 m
O raio ( r ) é metade do diâmetro:
r = D2 = 0,052 = 0,025 m
A área de um círculo é dada por:
A = pi r^2
Substituindo r :
A = pi times (0,025)^2 approx pi times 0,000625 approx 0,0019635 m^2

Passo 4

Agora que temos a área, vamos usar a fórmula da velocidade:
v = QA
A vazão ( Q ) é 0,6 litros por segundo. Vamos converter para metros cúbicos por segundo, já que 1 litro = 0,001 m³:
Q = 0,6 litros/s = 0,6 times 0,001 = 0,0006 m^3/s
Substituindo os valores na fórmula:
v = 0,00060,0019635 approx 0,3057 m/s

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular a pressão da água no teto do 60º andar, a 20,4 metros acima do nível da rua.
Para isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluido em movimento:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P é a pressão
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000 kg/m³)
  • v é a velocidade do fluxo
  • g é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
  • h é a altura
Como o diâmetro do cano é constante, a velocidade do fluxo ( v ) é a mesma nos dois pontos, então podemos simplificar a equação.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação de Bernoulli para encontrar P2 :
P2 = P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 - 12 rho v2^2 - rho g h2
Como v1 = v2 e o cano tem diâmetro constante, as partes com velocidades se cancelam:
P2 = P1 + rho g (h1 - h2)
Considerando que h2 = h1 + De<a h , onde De<a h = 20,4 m:
P2 = P1 - rho g De<a h

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores:
  • P1 = 380 kPa = 380,000 Pa (já que 1 kPa = 1000 Pa)
  • rho = 1000 kg/m³
  • g = 9,81 m/s²
  • De<a h = 20,4 m
Substituindo na equação:
P2 = 380,000 - 1000 times 9,81 times 20,4
Calculando o termo da altura:
1000 times 9,81 times 20,4 = 200,124 Pa
Então:
P2 = 380,000 - 200,124 approx 379,799.876 Pa
Arredondando:
P2 approx 379,800 Pa = 379,8 kPa

Resposta

a) A velocidade de escoamento da água pelo cano é aproximadamente 0,306 m/s.
b) A pressão da água no teto do 60º andar é aproximadamente 379,8 kPa.

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