Suponha que um corpo deslize sem atrito a partir do topo de um aro, com um raio R, colocado verticalmente. Qual é a força que esse corpo exerce sobre o aro ao passar pelo ponto que está a uma altura menor que o cume em um valor h? A velocidade inicial do corpo na parte superior do aro é igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que desliza sem atrito a partir do topo de um aro vertical com raio R . A velocidade inicial do corpo no topo é zero. Queremos descobrir qual é a força que esse corpo exerce sobre o aro quando ele passa por um ponto que está a uma altura menor que o topo em um valor h .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e dinâmica circular. Precisamos calcular a velocidade do corpo nesse ponto e, em seguida, determinar a força normal que ele exerce sobre o aro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do corpo na altura h abaixo do topo. Como não há atrito, a energia mecânica total é conservada. A energia potencial gravitacional que o corpo perde ao descer uma altura h se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • m é a massa do corpo,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura.
A energia cinética é dada por:
Ek = 12mv^2
onde v é a velocidade do corpo.
Como a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
mgh = 12mv^2
Podemos simplificar m dos dois lados:
gh = 12v^2
Resolvendo para v :
v = raiz2gh

Passo 3

Agora que temos a velocidade do corpo na altura h , vamos analisar as forças envolvidas quando o corpo está nesse ponto.
Quando o corpo está se movendo em uma trajetória circular, há uma força centrípeta necessária para mantê-lo na trajetória. Essa força centrípeta é fornecida pela soma das forças que estão na direção do centro do círculo.
As forças atuando são:
  1. A força normal N que o aro exerce sobre o corpo, direcionada para cima em relação ao aro.
  2. O peso mg do corpo, direcionado para baixo devido à gravidade.
A força centrípeta Fc é dada por:
Fc = mv^2R
onde R é o raio do aro.
A soma das forças que fornecem a força centrípeta é:
N - mg = mv^2R

Passo 4

Vamos substituir v pela expressão que encontramos anteriormente:
v = raiz2gh
Então:
N - mg = m(raiz2gh)^2R
N - mg = m cdot 2ghR
N - mg = 2mghR
Agora, vamos isolar N :
N = mg + 2mghR
N = mg (1 + 2hR)

Resposta

A força que o corpo exerce sobre o aro a uma altura h abaixo do topo é:
N = mg (1 + 2hR)

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