Suponha que um corpo deslize sem atrito a partir do topo de um aro, com um raio
, colocado verticalmente. Qual é a força que esse corpo exerce sobre o aro ao passar pelo ponto que está a uma altura menor que o cume em um valor h? A velocidade inicial do corpo na parte superior do aro é igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que desliza sem atrito a partir do topo de um aro vertical com raio
. A velocidade inicial do corpo no topo é zero. Queremos descobrir qual é a força que esse corpo exerce sobre o aro quando ele passa por um ponto que está a uma altura menor que o topo em um valor
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e dinâmica circular. Precisamos calcular a velocidade do corpo nesse ponto e, em seguida, determinar a força normal que ele exerce sobre o aro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do corpo na altura
abaixo do topo. Como não há atrito, a energia mecânica total é conservada. A energia potencial gravitacional que o corpo perde ao descer uma altura
se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
onde:
-
é a massa do corpo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
A energia cinética é dada por:
onde
é a velocidade do corpo.
Como a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que temos a velocidade do corpo na altura
, vamos analisar as forças envolvidas quando o corpo está nesse ponto.
Quando o corpo está se movendo em uma trajetória circular, há uma força centrípeta necessária para mantê-lo na trajetória. Essa força centrípeta é fornecida pela soma das forças que estão na direção do centro do círculo.
As forças atuando são:
- A força normal
que o aro exerce sobre o corpo, direcionada para cima em relação ao aro. - O peso
do corpo, direcionado para baixo devido à gravidade.
A força centrípeta
é dada por:
onde
é o raio do aro.
A soma das forças que fornecem a força centrípeta é:
Passo 4
Vamos substituir
pela expressão que encontramos anteriormente:
Então:
Agora, vamos isolar
:
Resposta
A força que o corpo exerce sobre o aro a uma altura
abaixo do topo é: