Considere um circuito LC oscilante ideal. A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por d^2 qd t^2+w^2 q=0 Considere como solução desta equação a função q(t)=Q sen(omega t+varphi), com as condições iniciais q(0)=q0 e i(0)=i0
a) Encontre as expressões para a amplitude de carga Q e constante de fase varphi em função das constantes omega, q0 e i0.
b) Suponha que L=20 mHe / C=10 mu F, e que no instante t=0 a corrente vale 10 mA , a carga no capacitor é 2 mu C e o capacitor está sendo carregado.
c) Calcule o ângulo de fase inicial varphi, a amplitude carga Q e a amplitude de corrente
d) Calcule energia total neste circuito.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito LC ideal cuja carga no capacitor satisfaz a equação diferencial
d^2qdt^2 + omega^2 q = 0
e propõe como solução a forma
q(t) = Q sinl(omega t + varphir),
com condições iniciais q(0)=q0 e i(0)=i0, onde i(t)=dqdt. O conteúdo da matéria é o movimento harmônico simples e vamos precisar usar a relação entre as condições iniciais e a amplitude Q e fase varphi.

Passo 2

Impondo t=0 em q(t) e em i(t) obtemos
q(0)=Qsinvarphi = q0,
i(0)=dqdt|t=0=Q,omegacosvarphi = i0
Dessas duas equações tiramos
tanvarphi = q0,i0/omega, = q0,omegai0,
Q = raizq0^2 + l(i0omegar)^2

Passo 3

Com L=20 mH=0,02;H e C=10;muF=10^-5;F, o pulsar natural é
omega = 1raizL,C = 1raiz0,02 times 10^-5 approx 2,236times10^3;rad/s

Passo 4

Usando q0=2;muC=2times10^-6;C e i0=10;mA=10^-2;A, calculamos
varphi = arctan!l(tfracq0,omegai0r) = arctan!l(tfrac2times10^-6times2,236times10^310^-2r) = arctan(0,4472) approx 0,418;rad;(24,0^circ),
Q = raizl(2times10^-6r)^2 + l(tfrac10^-22,236times10^3r)^2 = raiz4,0times10^-12 + (4,472times10^-6)^2 approx 4,899times10^-6;C

Passo 5

A amplitude da corrente é
I = Q,omega approx 4,899times10^-6times2,236times10^3 approx 1,096times10^-2;A = 10,96;mA

Passo 6

A energia total, constante no oscilador LC, pode ser calculada como
E = Q^22,C = (4,899times10^-6)^22times10^-5 approx 1,20times10^-6;J = 1,20;muJ

Resposta

varphiapprox0,418;rad, Qapprox4,899times10^-6;C, Imaxapprox10,96;mA, Etotalapprox1,20;muJ

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