(UNCAMP) Os dados a seguir foram obtidos em indivíduos contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto e submetidos a tratamento. A variável de interesse RECUP é definida como o tempo (em horas) entre a administração do tratamento e a recuperação do indivíduo. Os valores de RECUP são:
\{3,20,20,10,4,10,10,3,12,8,5,1,3,3,8\}
Determine a média, moda, mediana, quartis, variância, desvio padrão e Intervalo-Interquartil, com até duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule as medidas resumo da amostra: média, moda, mediana, quartis, variância, desvio padrão e intervalo interquartil, usando os dados de tempos (em horas) da recuperação. Os valores de RECUP fornecidos são
\{3,20,20,10,4,10,10,3,12,8,5,1,3,3,8\}.
Vou listar explicitamente os cinco passos de saída pedida:
  • Média aritmética;
  • Moda;
  • Mediana;
  • Quartis Q_1, Q_2 (mediana) e Q_3;
  • Variância e desvio padrão;
  • Intervalo interquartil IQR.

Passo 2

Plano de resolução e convenções (importante para não ficar em dúvida depois):
  • Para a média, mediana, moda e quartis usarei definições descritivas padrão (média = soma dividida por n; mediana = elemento central quando os dados estão ordenados; moda = valor com maior frequência; quartis = medianas das metades dos dados, excluindo a mediana quando n é ímpar).
  • Para variância e desvio padrão, vou usar a variância amostral não-viesada (aquela com denominador n-1), ou seja: s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,porque essa é a convenção comum quando tratamos os dados como uma amostra de uma população maior (é a fórmula que costuma cair em provas). Se no seu curso exigirem a variância populacional, a diferença é apenas no denominador ( n em vez de n-1) — eu explico isso quando fizer a conta.
  • Vou ordenar os dados para mediana/quartis e montar uma pequena tabela de frequências para a moda.

Passo 3

Ordenar os dados (isso facilita mediana, quartis e contar frequências). Os dados ordenados são
1,\,3,\,3,\,3,\,3,\,4,\,5,\,8,\,8,\,10,\,10,\,10,\,12,\,20,\,20.
Contagem total n=15 (confirme sempre o n antes de aplicar fórmulas).

Passo 4

Fórmula da média amostral (média aritmética):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde x_i são os valores observados e n é o número de observações.
Calculemos a soma dos dados: somando os valores ordenados
1+3+3+3+3+4+5+8+8+10+10+10+12+20+20=120.
Portanto
\bar{x}=\frac{120}{15}=8.
Arredondando com duas casas decimais: \bar{x}=8,00.

Passo 5

Definição simples: a moda é o valor que aparece com maior frequência na amostra.
Contando frequências (da lista ordenada):
  • 1: 1 vez;
  • 3: 4 vezes;
  • 4: 1 vez;
  • 5: 1 vez;
  • 8: 2 vezes;
  • 10: 3 vezes;
  • 12: 1 vez;
  • 20: 2 vezes.
    O maior número de repetições é 4, correspondente a 3. Logo a moda é 3.

Passo 6

Quando n é ímpar, a mediana é o elemento na posição \dfrac{n+1}{2}.
Aqui \dfrac{15+1}{2}=8, então a mediana é o 8-º elemento da lista ordenada. O 8-º elemento é 8. Assim a mediana é 8 (ou seja, Q_2=8, que escrevemos como 8,00).

Passo 7

Usando a convenção mais comum: com n ímpar, exclui-se a mediana e calcula-se Q_1 como a mediana da metade inferior e Q_3 como a mediana da metade superior.
  • Metade inferior (excluindo a mediana) são os 7 primeiros valores: 1,\,3,\,3,\,3,\,3,\,4,\,5.A mediana desses (posição (7+1)/2=4) é o 4-º valor dessa metade, que é 3. Então Q_1=3.
  • Metade superior (excluindo a mediana) são os 7 últimos valores: 8,\,10,\,10,\,10,\,12,\,20,\,20.A mediana desses é o 4-º valor da metade superior, que é 10. Então Q_3=10.
    Portanto:
Q_1=3,\quad Q_2=8,\quad Q_3=10.

Passo 8

Primeiro a fórmula (definindo as variáveis):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 é a variância amostral, x_i cada observação, \bar{x} a média amostral e n o tamanho da amostra. Para simplificar os cálculos, usaremos a fórmula equivalente com soma dos quadrados:
s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\Biggr).
Já calculamos \bar{x}=8 e n=15. Agora precisamos de \sum x_i^2. Agrupando os quadrados pelos valores repetidos facilita:
\sum x_i^2 = 1^2 + 4\cdot 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2\cdot 8^2 + 3\cdot 10^2 + 12^2 + 2\cdot 20^2.
Calculando cada termo:
1^2=1,\quad 4\cdot3^2=4\cdot9=36,\quad 4^2=16,\quad 5^2=25,
2\cdot8^2=2\cdot64=128,\quad 3\cdot10^2=3\cdot100=300,\quad 12^2=144,\quad 2\cdot20^2=2\cdot400=800.
Somando:
\sum x_i^2=1+36+16+25+128+300+144+800=1450.
Agora aplicar a fórmula:
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 1450 - 15\cdot 8^2 = 1450 - 15\cdot64 = 1450 - 960 = 490.
Então
s^2=\frac{490}{15-1}=\frac{490}{14}=35.
A variância amostral é s^2=35. Em duas casas decimais: 35,00.
O desvio padrão amostral é a raiz quadrada:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{35}\approx 5{,}91608\ldots
Arredondando para duas casas decimais: s\approx5{,}92.
(Observação rápida: se alguém pedisse a variância populacional, dividir-se-ia 490 por n=15, dando 32{,}666\ldots. Aqui usei a convenção amostral com n-1.)

Passo 9

Definição: IQR = Q_3 - Q_1.
Com Q_3=10 e Q_1=3,
IQR = 10-3 = 7,
ou seja 7,00 com duas casas decimais.

Resposta

Média: 8,00
Moda: 3
Mediana: 8,00
Quartis: Q_1=3,00,\;Q_2=8,00,\;Q_3=10,00
Variância (amostral): 35,00
Desvio padrão (amostral): 5,92
Intervalo interquartil: 7,00

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