(UNCAMP) Os dados a seguir foram obtidos em indivíduos contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto e submetidos a tratamento. A variável de interesse RECUP é definida como o tempo (em horas) entre a administração do tratamento e a recuperação do indivíduo. Os valores de RECUP são:
Determine a média, moda, mediana, quartis, variância, desvio padrão e Intervalo-Interquartil, com até duas casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule as medidas resumo da amostra: média, moda, mediana, quartis, variância, desvio padrão e intervalo interquartil, usando os dados de tempos (em horas) da recuperação. Os valores de RECUP fornecidos são
Vou listar explicitamente os cinco passos de saída pedida:
- Média aritmética;
- Moda;
- Mediana;
- Quartis
, (mediana) e ; - Variância e desvio padrão;
- Intervalo interquartil
.
Passo 2
Plano de resolução e convenções (importante para não ficar em dúvida depois):
- Para a média, mediana, moda e quartis usarei definições descritivas padrão (média = soma dividida por
; mediana = elemento central quando os dados estão ordenados; moda = valor com maior frequência; quartis = medianas das metades dos dados, excluindo a mediana quando é ímpar). - Para variância e desvio padrão, vou usar a variância amostral não-viesada (aquela com denominador
), ou seja: porque essa é a convenção comum quando tratamos os dados como uma amostra de uma população maior (é a fórmula que costuma cair em provas). Se no seu curso exigirem a variância populacional, a diferença é apenas no denominador ( em vez de ) — eu explico isso quando fizer a conta. - Vou ordenar os dados para mediana/quartis e montar uma pequena tabela de frequências para a moda.
Passo 3
Ordenar os dados (isso facilita mediana, quartis e contar frequências). Os dados ordenados são
Contagem total
(confirme sempre o
antes de aplicar fórmulas).
Passo 4
Fórmula da média amostral (média aritmética):
onde
são os valores observados e
é o número de observações.
Calculemos a soma dos dados: somando os valores ordenados
Calculemos a soma dos dados: somando os valores ordenados
Portanto
Arredondando com duas casas decimais:
.
Passo 5
Definição simples: a moda é o valor que aparece com maior frequência na amostra.
Contando frequências (da lista ordenada):
Contando frequências (da lista ordenada):
-
: 1 vez; -
: 4 vezes; -
: 1 vez; -
: 1 vez; -
: 2 vezes; -
: 3 vezes; -
: 1 vez; -
: 2 vezes.
O maior número de repetições é 4, correspondente a. Logo a moda é .
Passo 6
Quando
é ímpar, a mediana é o elemento na posição
.
Aqui , então a mediana é o
-º elemento da lista ordenada. O
-º elemento é
. Assim a mediana é
(ou seja,
, que escrevemos como
).
Aqui
Passo 7
Usando a convenção mais comum: com
ímpar, exclui-se a mediana e calcula-se
como a mediana da metade inferior e
como a mediana da metade superior.
- Metade inferior (excluindo a mediana) são os 7 primeiros valores:
A mediana desses (posição ) é o -º valor dessa metade, que é . Então . - Metade superior (excluindo a mediana) são os 7 últimos valores:
A mediana desses é o -º valor da metade superior, que é . Então .
Portanto:
Passo 8
Primeiro a fórmula (definindo as variáveis):
onde
é a variância amostral,
cada observação,
a média amostral e
o tamanho da amostra. Para simplificar os cálculos, usaremos a fórmula equivalente com soma dos quadrados:
Já calculamos
e
. Agora precisamos de
. Agrupando os quadrados pelos valores repetidos facilita:
Calculando cada termo:
Somando:
Agora aplicar a fórmula:
Então
A variância amostral é
. Em duas casas decimais:
.
O desvio padrão amostral é a raiz quadrada:
Arredondando para duas casas decimais:
.
(Observação rápida: se alguém pedisse a variância populacional, dividir-se-ia 490 por
, dando
. Aqui usei a convenção amostral com
.)
Passo 9
Definição:
.
Com e
,
Com
ou seja
com duas casas decimais.
Resposta
Média:
Moda:
Mediana:
Quartis:
Variância (amostral):
Desvio padrão (amostral):
Intervalo interquartil:
Moda:
Mediana:
Quartis:
Variância (amostral):
Desvio padrão (amostral):
Intervalo interquartil: