2* Uma cantoneira de \mathbf{1 0 2} \times \mathbf{7 6} \times \mathbf{6 ~ m m}, de alumínio [\boldsymbol{E}=\mathbf{7 0 ~ G P a}], é usada como uma coluna biengastada, com um comprimento real de 4 \boldsymbol{m}. Se um coeficiente de segurança de 1,5 é especificado, determine:
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga admissível.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo direitinho):
  • Dimensões da cantoneira (em mm): perna maior a=102, perna menor b=76, espessura t=6.
  • Material: alumínio com módulo de Young E=70\\ \text{GPa}.
  • Coluna bi-engastada (ambas as extremidades engastadas), comprimento real L=4{,}0\\ \text{m}.
  • Coeficiente de segurança pedido: \text{FS}=1{,}5.
    O enunciado pede:
    (a) o índice de esbeltez (slenderness index) da coluna, isto é \lambda = \dfrac{L_e}{r_{\min}} onde L_e é o comprimento efetivo e r_{\min} é o raio de giração mínimo da seção;
    (b) a máxima carga admissível, considerando o coeficiente de segurança dado.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a área da seção transversal da cantoneira. Modelamos a cantoneira como duas placas retangulares (duas pernas) com sobreposição quadrada no canto; a área da cantoneira é
A = t\,(a+b-t).
Substituindo:
A = 6\,(102+76-6)=6\cdot172=1032\\ \text{mm}^2.

Passo 3

Para obter o raio de giração precisamos do momento de inércia mínimo I_{\min} (o menor entre I_x e I_y em relação ao centroide). Vou decompor a seção em duas retângulos (perna vertical e perna horizontal) e subtrair a área de sobreposição. Definições (origem no canto externo do L):
  • Retângulo 1 (perna vertical): A_1=t\cdot a=6\cdot102=612\\ \text{mm}^2, centroide em (x_1,y_1)=(3,51) mm.
  • Retângulo 2 (perna horizontal): A_2=b\cdot t=76\cdot6=456\\ \text{mm}^2, centroide em (x_2,y_2)=(38,3) mm.
  • Região sobreposta (quadrado): A_{ov}=t^2=36\\ \text{mm}^2, centroide em (3,3) mm.
Calculo das coordenadas do centroide da seção composta:
\bar{x}=\frac{A_1 x_1 + A_2 x_2 - A_{ov} x_{ov}}{A},\qquad \bar{y}=\frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 - A_{ov} y_{ov}}{A}.
Substituindo os números:
\bar{x}=\frac{612\cdot3 + 456\cdot38 - 36\cdot3}{1032}=\frac{19056}{1032}= \frac{794}{43}\approx 18{,}465\\ \text{mm},
\bar{y}=\frac{612\cdot51 + 456\cdot3 - 36\cdot3}{1032}=\frac{32472}{1032}=\frac{1353}{43}\approx 31{,}442\\ \text{mm}.

Passo 4

Agora calculo dos momentos de inércia dos retângulos em seus eixos centroidais (fórmulas padrão para retângulo):
  • Para um retângulo de largura b (no sentido x) e altura h (no sentido y): I_x = \frac{b\,h^3}{12}\quad(\text{momento em torno do eixo }x\text{ horizontal}),
I_y = \frac{h\,b^3}{12}\quad(\text{momento em torno do eixo }y\text{ vertical}).
Aplicando aos componentes:
  • Retângulo 1 (vertical): b_1=t=6,\\ h_1=a=102: I_{x1}=\frac{6\cdot102^3}{12}=\tfrac{1}{2}\cdot102^3=530\,604\\ \text{mm}^4,
I_{y1}=\frac{102\cdot6^3}{12}=102\cdot18=1\,836\\ \text{mm}^4.
  • Retângulo 2 (horizontal): b_2=76,\\ h_2=6: I_{x2}=\frac{76\cdot6^3}{12}=1\,368\\ \text{mm}^4,
I_{y2}=\frac{6\cdot76^3}{12}=\tfrac{1}{2}\cdot76^3=219\,488\\ \text{mm}^4.
  • Sobreposição (quadrado 6\times6): I_{x,ov}=I_{y,ov}=108\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Usando o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para transferir cada momento ao eixo que passa pelo centroide da seção composta e somar/subtrair a parte sobreposta:
  • Distâncias verticais para I_x: d_{y1}=y_1-\bar{y}=51-31{,}442=19{,}558\\ \text{mm}, d_{y2}=3-31{,}442=-28{,}442\\ \text{mm}, d_{y,ov}=3-31{,}442=-28{,}442\\ \text{mm}.
  • Distâncias horizontais para I_y: d_{x1}=3-18{,}465=-15{,}465\\ \text{mm}, d_{x2}=38-18{,}465=19{,}535\\ \text{mm}, d_{x,ov}=3-18{,}465=-15{,}465\\ \text{mm}.
Calculo de I_x da seção composta:
I_x = \big(I_{x1}+A_1 d_{y1}^2\big) + \big(I_{x2}+A_2 d_{y2}^2\big) - \big(I_{x,ov}+A_{ov} d_{y,ov}^2\big).
Substituindo e calculando (aproximações numéricas mostradas):
I_x \approx 530\,604 + 612\cdot(19{,}558)^2 + 1\,368 + 456\cdot(28{,}442)^2 - \big(108 + 36\cdot(28{,}442)^2\big)
I_x \approx 1{,}105{,}726\\ \text{mm}^4\\ (\text{aprox. }1{,}10\times10^6).
Calculo de I_y da seção composta:
I_y = \big(I_{y1}+A_1 d_{x1}^2\big) + \big(I_{y2}+A_2 d_{x2}^2\big) - \big(I_{y,ov}+A_{ov} d_{x,ov}^2\big).
Substituindo:
I_y \approx 1\,836 + 612\cdot(15{,}465)^2 + 219\,488 + 456\cdot(19{,}535)^2 - \big(108 + 36\cdot(15{,}465)^2\big)
I_y \approx 532\,953\\ \text{mm}^4\\ (\text{aprox. }5{,}33\times10^5).
Conclusão: o menor momento de inércia é I_{\min}=I_y\approx 532{,}953\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Raio de giração mínimo e índice de esbeltez:
  • Raio de giração: \displaystyle r_{\min}=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}.
r_{\min}=\sqrt{\frac{532\,953}{1032}}\approx\sqrt{516{,}34}\approx 22{,}72\\ \text{mm}.
  • Comprimento efetivo: para coluna bi-engastada o fator efetivo é K=0{,}5, portanto
L_e = K L = 0{,}5\cdot 4{,}0\\ \text{m}=2{,}0\\ \text{m}=2000\\ \text{mm}.
  • Índice de esbeltez:
\lambda=\frac{L_e}{r_{\min}}=\frac{2000}{22{,}72}\approx 88{,}1.

Passo 7

Cálculo da carga crítica de Euler P_{cr} usando a fórmula clássica (válida para flambagem elástica):
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{L_e^2}.
Converter E para \text{N}/\text{mm}^2: E=70\\ \text{GPa}=70{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2. Substituindo:
P_{cr}=\frac{\pi^2\cdot 70{,}000\cdot 532\,953}{2000^2}.
Calculando numericamente:
P_{cr}\approx 9{,}8696\cdot 70{,}000\cdot 532\,953 / 4{,}000{,}000 \approx 92{,}055\\ \text{N}\approx 92{,}06\\ \text{kN}.

Passo 8

Aplicando o coeficiente de segurança \text{FS}=1{,}5 (sinaliza que a carga admissível é P_{adm}=P_{cr}/\text{FS}):
P_{adm}=\frac{P_{cr}}{1{,}5}=\frac{92{,}055}{1{,}5}\approx 61{,}370\\ \text{N}\approx 61{,}37\\ \text{kN}.
Para referência rápida, a tensão correspondente é \sigma_{adm}=P_{adm}/A\approx 61{,}370/1032\approx 59{,}5\\ \text{N}/\text{mm}^2 (ou 59{,}5\\ \text{MPa}) — isso dá uma ideia se a carga está dentro de limites práticos do alumínio.

Resposta

(a) \lambda\approx 88{,}1
(b) P_{\text{máx admissível}}\approx 61{,}37\\ \text{kN}áí

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