2* Uma cantoneira de
, de alumínio
, é usada como uma coluna biengastada, com um comprimento real de
. Se um coeficiente de segurança de 1,5 é especificado, determine:
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga admissível.
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga admissível.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo direitinho):
- Dimensões da cantoneira (em mm): perna maior
, perna menor , espessura . - Material: alumínio com módulo de Young
. - Coluna bi-engastada (ambas as extremidades engastadas), comprimento real
. - Coeficiente de segurança pedido:
.
O enunciado pede:
(a) o índice de esbeltez (slenderness index) da coluna, isto éonde é o comprimento efetivo e é o raio de giração mínimo da seção;
(b) a máxima carga admissível, considerando o coeficiente de segurança dado.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a área da seção transversal da cantoneira. Modelamos a cantoneira como duas placas retangulares (duas pernas) com sobreposição quadrada no canto; a área da cantoneira é
Substituindo:
Passo 3
Para obter o raio de giração precisamos do momento de inércia mínimo
(o menor entre
e
em relação ao centroide). Vou decompor a seção em duas retângulos (perna vertical e perna horizontal) e subtrair a área de sobreposição. Definições (origem no canto externo do L):
- Retângulo 1 (perna vertical):
, centroide em mm. - Retângulo 2 (perna horizontal):
, centroide em mm. - Região sobreposta (quadrado):
, centroide em mm.
Calculo das coordenadas do centroide da seção composta:
Substituindo os números:
Passo 4
Agora calculo dos momentos de inércia dos retângulos em seus eixos centroidais (fórmulas padrão para retângulo):
- Para um retângulo de largura
(no sentido ) e altura (no sentido ):
Aplicando aos componentes:
- Retângulo 1 (vertical):
:
- Retângulo 2 (horizontal):
:
- Sobreposição (quadrado
):
Passo 5
Usando o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para transferir cada momento ao eixo que passa pelo centroide da seção composta e somar/subtrair a parte sobreposta:
- Distâncias verticais para
: , , . - Distâncias horizontais para
: , , .
Calculo de
da seção composta:
Substituindo e calculando (aproximações numéricas mostradas):
Calculo de
da seção composta:
Substituindo:
Conclusão: o menor momento de inércia é
.
Passo 6
Raio de giração mínimo e índice de esbeltez:
- Raio de giração:
.
- Comprimento efetivo: para coluna bi-engastada o fator efetivo é
, portanto
- Índice de esbeltez:
Passo 7
Cálculo da carga crítica de Euler
usando a fórmula clássica (válida para flambagem elástica):
Converter
para
:
. Substituindo:
Calculando numericamente:
Passo 8
Aplicando o coeficiente de segurança
(sinaliza que a carga admissível é
):
Para referência rápida, a tensão correspondente é
(ou
) — isso dá uma ideia se a carga está dentro de limites práticos do alumínio.
Resposta
(a)
(b)