3* Um perfil de aço \boldsymbol{W 2 0 3} \boldsymbol{\times} \mathbf{2 5} é usado para uma coluna engastada-rotulada, com um comprimento real de 6,5 m. Determine:
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga que a coluna poderia suportar se um coeficiente de segurança 2 fosse especificado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Perfil: W203\times 25 (designação do perfil).
    • Comprimento real da coluna: L = 6,5\\ \mathrm{m}.
    • Condição de contorno: coluna engastada-rotulada (um extremo engastado/fixado, outro simplesmente apoiado/pino).
    • Coeficiente de segurança pedido: \text{SF}=2.
  • O enunciado pede:
    • (a) o índice de esbeltez da coluna;
    • (b) a máxima carga que a coluna poderia suportar considerando o coeficiente de segurança \text{SF}=2.
Observação importante: para calcular numericamente o índice de esbeltez e a carga crítica é necessário conhecer propriedades geométricas do perfil (em particular o menor raio de giração r_{\min} ou, alternativamente, o momento de inércia I e a área A do perfil). Essas propriedades não estão no enunciado; normalmente são obtidas em tabelas de perfis (catálogo do fabricante / tabelas AISC / normas). Sem esses valores não é possível obter os números finais.

Passo 2

Explicando o que é preciso obter nas tabelas e por que.
  • Para o índice de esbeltez usamos a fórmula
\lambda=\frac{K\,L}{r_{\min}},
onde:
  • K é o fator de comprimento efetivo dependente das condições de contorno;
  • L é o comprimento real da coluna;
  • r_{\min} é o menor raio de giração do perfil (entre os eixos forte e fraco).
  • O raio de giração relaciona momento de inércia e área segundo
r=\sqrt{\frac{I}{A}},
onde:
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo considerado;
  • A é a área da seção.
  • Para a carga crítica de Euler (válida para colunas esbeltas) usamos
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • E é o módulo de elasticidade do aço (típico: E=210\\ \text{GPa});
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo que produz o menor valor de P_{cr} (isto é, usar I_{\min}, o momento de inércia correspondente ao menor raio de giração).
  • A carga máxima admissível com coeficiente de segurança \text{SF} (se a verificação for feita diretamente sobre P_{cr}) é
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr}}{\text{SF}}=\frac{\pi^{2} E I_{\min}}{(K L)^{2}\,\text{SF}}.
Portanto, para obter respostas numéricas precisamos de r_{\min} (para (a)) e de I_{\min} (para (b)). Essas quantidades são tabuladas para o perfil W203\times25.

Passo 3

Qual é o valor de K (fator de comprimento efetivo) para uma coluna engastada-rotulada?
  • Para as condições “engastada-rotulada” (um extremo fixo, outro articulado), o fator de comprimento efetivo padrão é aproximadamente
K\approx 0{,}7.
Vou usar esse valor nas fórmulas abaixo (é o valor usual em manuais de estabilidade).
Logo o comprimento efetivo é
K L \approx 0{,}7\times 6{,}5\\ \mathrm{m}=4{,}55\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Procedimento passo a passo (o que você faria na prova assim que tiver as propriedades do perfil):
  1. Obtenha da tabela do perfil W203\times25 os valores:
    • A (área da seção) em \mathrm{m}^2 ou \mathrm{mm}^2;
    • r_x e r_y (raios de giração nos eixos forte e fraco) ou I_x e I_y.
  2. Determine r_{\min}=\min(r_x,r_y).
  3. Calcule o índice de esbeltez
\lambda=\frac{K L}{r_{\min}}.
Explanação didática: \lambda mede quantas vezes o comprimento efetivo é maior que a “dimensão” da seção que resiste à flambagem; colunas com \lambda grande são mais propensas à flambagem elástica (modo de Euler).
  1. Para a carga crítica selecione o eixo que dá menor rigidez à flambagem (normalmente o eixo com menor I, que coincide com r_{\min}). Use
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I_{\min}}{(K L)^{2}}.
  1. Divida por \text{SF}=2 para obter a máxima carga segura:
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr}}{2}=\frac{\pi^{2} E I_{\min}}{(K L)^{2}\cdot 2}.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) — atenção: os números abaixo são apenas demonstrativos para mostrar as contas; NÃO são propriedades reais do W203\times25. Não use esses valores como resposta final do seu problema sem substituir pelos valores tabulados corretos.
  • Suponha que a tabela desse r_{\min}=0{,}030\\ \mathrm{m} e I_{\min}=6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4. (isto é só um exemplo).
  • Comprimento efetivo: K L=4{,}55\\ \mathrm{m}.
  • Índice de esbeltez:
\lambda=\frac{4{,}55}{0{,}030}\approx 151{,}7.
  • Módulo de Young: E=210\\ \text{GPa}=2{,}10\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
  • Carga crítica de Euler:
P_{cr}=\frac{\pi^{2}\cdot 2{,}10\times10^{11}\cdot 6{,}0\times10^{-6}}{(4{,}55)^{2}}\approx \text{(calcule)}.
  • Carga admissível com \text{SF}=2:
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr}}{2}.
Esse exemplo mostra o procedimento: uma vez que você substitua os valores reais de r_{\min} e I_{\min} da tabela, as contas são diretas e feitas com operações aritméticas simples.

Passo 6

Conclusão e o que preciso (prático e imediato):
  • Não posso fornecer os valores numéricos finais pedidos em (a) e (b) sem as propriedades geométricas do W203\times25. Essas propriedades (pelo menos r_x, r_y e I_x, I_y ou A e um dos I) devem ser consultadas em tabelas de perfis (manual AISC ou catálogo do fornecedor).
  • Quando você me passar (ou consultar) os valores de r_{\min} e I_{\min} eu executo as contas e retorno:
    • o valor numérico de \lambda usando \lambda=\dfrac{K L}{r_{\min}} com K=0{,}7 e L=6{,}5\\ \mathrm{m};
    • a carga admissível P_{\text{adm}}=\dfrac{\pi^{2} E I_{\min}}{(K L)^{2}\cdot 2} usando E=210\\ \text{GPa}.
Força aí — se quiser eu mesmo posso procurar os valores tabelados para o W203\times25 se você autorizar que eu os utilize (mas como não posso acessar fontes externas sem você me fornecer os dados, preciso que você copie os valores da tabela e cole aqui, ou que confirme que eu posso usar um valor aproximado qualquer).

Resposta

a. Não é possível determinar numericamente: falta o menor raio de giração do perfil r_{\min} (ou I e A) — o índice de esbeltez é \displaystyle \lambda=\frac{K L}{r_{\min}} com K\approx0{,}7 e L=6{,}5\\ \mathrm{m}.
b. Não é possível determinar numericamente: falta o momento de inércia mínimo I_{\min} do perfil — a máxima carga admissível (com \text{SF}=2) é \displaystyle P_{\text{adm}}=\frac{\pi^{2}E I_{\min}}{(K L)^{2}\cdot 2} com E=210\\ \text{GPa} e K\approx0{,}7.

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