Um canudo de 0.50 cm de diâmetro e 20 cm de comprimento está eletricamente carregado, e é capaz de atrair partículas de papel a uma distância de 1.75 cm de sua superfície. Sabendo que a densidade do papel é aproximadamente 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, e que sua constante dielétrica é 4, estime a carga total que há no canudo.
(Bônus: 1,0 ponto)

Passo 1

O problema diz que um canudo (cilindro) de diâmetro 0,50\\ \text{cm} e comprimento L=20\\ \text{cm} está carregado e consegue atrair uma partícula de papel até d=1{,}75\\ \text{cm} da sua superfície. Vamos modelar uma partícula de papel como uma esfera de raio a, densidade \rho=1\\ \text{g/cm}^3 e constante dielétrica \kappa=4. O conteúdo principal é o força de dieletroforese: uma partícula neutra num campo elétrico não uniforme adquire um momento dipolar e sofre força \vb F = ( \vb p\cdot\nabla)\vb E.

Passo 2

Escolhemos um raio típico para a partícula de papel, por exemplo
a = 0{,}5\\ \text{mm} = 5\times10^{-4}\\ \text{m}.
O volume da esfera é
V = \frac{4}{3}\pi a^3,
logo sua massa é
m = \rho\,V = 1000\\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\,\frac{4}{3}\pi a^3.
A força peso vale
mg = 1000\cdot\frac{4}{3}\pi a^3\cdot 9{,}8\\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

Passo 3

A polarizabilidade de uma esfera de constante dielétrica \kappa imersa no ar \varepsilon_m=\varepsilon_0 é
\alpha = 4\pi\varepsilon_0\,a^3\,\frac{\kappa - 1}{\kappa + 2}.
Com \kappa=4 vem
\alpha = 4\pi\varepsilon_0\,a^3\cdot\frac{3}{6} = 2\pi\varepsilon_0\,a^3.

Passo 4

O canudo carregado alongado se aproxima de uma linha de carga de densidade \lambda. O campo elétrico a uma distância r do eixo é
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},
e seu gradiente radial é
\frac{\d E}{\d r} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r^2}.

Passo 5

A força de dieletroforese, em módulo, fica
F = \alpha\,E\,\frac{\d E}{\d r} = \frac{\alpha\,\lambda^2}{(2\pi\varepsilon_0)^2\,r^3}.
No limite de atração máxima, F compensa mg, isto é
\frac{\alpha\,\lambda^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2\,r^3} = mg.

Passo 6

Desse último, isolamos \lambda:
\lambda^2 = \frac{mg\,4\pi^2\varepsilon_0^2\,r^3}{\alpha} = \frac{mg\,4\pi^2\varepsilon_0^2\,r^3}{2\pi\varepsilon_0\,a^3} = 2\pi\,\varepsilon_0\,mg\,\frac{r^3}{a^3},
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\lambda = \sqrt{2\pi\,\varepsilon_0\,m\,g\,\frac{r^3}{a^3}}.

Passo 7

Numericamente, temos
r = \frac{0{,}50\\ \text{cm}}{2} + 1{,}75\\ \text{cm} = 2{,}00\\ \text{cm} = 2{,}0\times10^{-2}\\ \text{m},
m = 1000\cdot\frac{4}{3}\pi (5\times10^{-4})^3 \approx 5{,}24\times10^{-7}\\ \text{kg},
e usando \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \text{F/m}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2,
\lambda \approx \sqrt{ 2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(5{,}24\times10^{-7})\,(9{,}8)\, \frac{(2{,}0\times10^{-2})^3}{(5\times10^{-4})^3} } \approx 4{,}3\times10^{-6}\\ \text{C/m}.

Passo 8

A carga total no canudo é
Q = \lambda\,L \approx (4{,}3\times10^{-6}\\ \text{C/m})\,(0{,}20\\ \text{m}) \approx 8{,}6\times10^{-7}\\ \text{C}.

Resposta

A estimativa para a carga total no canudo é
\boxed{Q\approx9\times10^{-7}\\ \text{C}.}

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