Demonstre as regras de produtos:
\nabla(f g)=f \nabla g+g \nabla f.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a regra do produto para o operador gradiente, ou seja, mostrar que, para duas funções escalares suficientemente suaves f e g em \mathbb{R}^n,
\nabla(fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f.
Vamos usar como ferramenta a definição do gradiente e a regra do produto de derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de uma função escalar h\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} é o vetor das derivadas parciais,
\nabla h = \Bigl(\frac{\partial h}{\partial x_1},\frac{\partial h}{\partial x_2},\ldots,\frac{\partial h}{\partial x_n}\Bigr).
Para h(x)=f(x)\,g(x), vamos aplicar essa definição coordenada a coordenada.

Passo 3

Em cada coordenada i\in\{1,\dots,n\}, a derivada parcial de fg satisfaz a regra do produto em variável única (pois, ao derivar em relação a x_i, as outras variáveis se tratam como constantes):
\frac{\partial (f\,g)}{\partial x_i} = f\,\frac{\partial g}{\partial x_i} + g\,\frac{\partial f}{\partial x_i}.

Passo 4

Reagrupando em forma vetorial, cada componente do vetor \nabla(fg) é
\Bigl(\nabla(fg)\Bigr)_i = f\,\frac{\partial g}{\partial x_i} + g\,\frac{\partial f}{\partial x_i},
o que, em notação de vetor, dá
\nabla(fg) = \bigl(f\,\partial_i g + g\,\partial_i f\bigr)_{i=1,\dots,n} = f\,\nabla g + g\,\nabla f.

Resposta

\nabla(fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f.

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