Demonstre as regras de produtos:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a regra do produto para o operador gradiente, ou seja, mostrar que, para duas funções escalares suficientemente suaves
e
em
,
Vamos usar como ferramenta a definição do gradiente e a regra do produto de derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando que o gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais,
Para
, vamos aplicar essa definição coordenada a coordenada.
Passo 3
Em cada coordenada
, a derivada parcial de
satisfaz a regra do produto em variável única (pois, ao derivar em relação a
, as outras variáveis se tratam como constantes):
Passo 4
Reagrupando em forma vetorial, cada componente do vetor
é
o que, em notação de vetor, dá