Uma pequena esfera com massa \mathrm{m}=3 \mathrm{~kg} está em equilíbrio estático com uma superfície plana infinita (não condutora) com densidade superficial de carga \sigma=4 \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Sabendo que o ângulo \theta é 60^{\circ}, determine a carga q .

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de massa m=3\,\text{kg} e carga q suspensa por um fio leve e isolante em frente a uma placa plana infinita não condutora com densidade superficial de carga \sigma=4\,\mathrm{C/m^2}. Em equilíbrio estático o fio fica desviado de \,60^\circ em relação à vertical. Para achar q, usaremos (1) o campo elétrico uniforme de uma placa infinita e (2) as condições de equilíbrio de forças na esfera.

Passo 2

O campo elétrico gerado por uma placa infinita não condutora e uniformemente carregada é perpendicular à superfície e de módulo
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\,,
onde \epsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.

Passo 3

Na esfera atuam três forças:
– o peso \displaystyle \vec P = m\,\vec g para baixo;
– a tensão \displaystyle \vec T do fio, ao longo do fio;
– a força elétrica \displaystyle \vec F_e = q\,\vec E, horizontal, de repulsão.
Projetando em eixos vertical y e horizontal x:
\begin{cases} T\cos\theta = m\,g,\\\ T\sin\theta = q\,E. \end{cases}

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira obtém-se
\tan\theta = \frac{q\,E}{m\,g} \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{m\,g\,\tan\theta}{E} = \frac{m\,g\,\tan\theta}{\sigma/(2\epsilon_{0})} = \frac{2\,\epsilon_{0}\,m\,g\,\tan\theta}{\sigma}.

Passo 5

Substituindo m=3\,\mathrm{kg}, g=9{,}8\,\mathrm{m/s^2}, \tan60^\circ=\sqrt{3}, \sigma=4\,\mathrm{C/m^2} e \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}:
q = \frac{2\,(8{,}85\times10^{-12})\,(3)(9{,}8)\,\sqrt{3}}{4} \approx 2{,}3\times10^{-10}\,\mathrm{C}.

Resposta

q \approx 2{,}3\times10^{-10}\,\mathrm{C}.

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