Exercício 1.4 Você mede o período do relógio de luz A como sendo T conforme ele se move em relação a você com velocidade 0<v_{A}<0,5 c_{0}. Você mede o período de um relógio de luz idêntico (relógio B ) sendo 3 T conforme ele se move em relação a você com velocidade v_{B}=2 v_{A}. Determine valores numéricos para as velocidades de cada relógio em seu referencial.

Passo 1

O enunciado dá dois relógios de luz idênticos com período próprio T_0. No seu referencial, o período do relógio A em movimento a v_A é \,T e o do relógio B em movimento a v_B=2v_A é 3T. O conteúdo envolvido é dilatação do tempo na Relatividade Restrita, que relaciona o tempo próprio T_0 ao tempo medido T_{\rm obs} por
T_{\rm obs}=\gamma\,T_0,\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad \beta=\frac{v}{c_0}.

Passo 2

Para o relógio A temos
T=\gamma_A\,T_0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma_A=\frac{T}{T_0}.

Passo 3

Para o relógio B temos
3T=\gamma_B\,T_0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma_B=\frac{3T}{T_0}=3\,\gamma_A.

Passo 4

Como \gamma=\bigl(1-\beta^2\bigr)^{-1/2}, a razão \gamma_B/\gamma_A=3 vira
\frac{\gamma_B}{\gamma_A} =\frac{1/\sqrt{1-\beta_B^2}}{1/\sqrt{1-\beta_A^2}} =\sqrt{\frac{1-\beta_A^2}{1-\beta_B^2}} =3,
e como \beta_B=v_B/c_0=2v_A/c_0=2\beta_A, temos
\sqrt{\frac{1-\beta_A^2}{1-4\beta_A^2}}=3.

Passo 5

Elevando ao quadrado e resolvendo para \beta_A:
\frac{1-\beta_A^2}{1-4\beta_A^2}=9 \quad\Longrightarrow\quad 1-\beta_A^2=9-36\,\beta_A^2 \quad\Longrightarrow\quad 35\,\beta_A^2=8 \quad\Longrightarrow\quad \beta_A=\sqrt{\frac{8}{35}}.
Logo
v_A=c_0\,\sqrt{\frac{8}{35}}.

Passo 6

Em seguida
v_B=2\,v_A=2\,c_0\,\sqrt{\frac{8}{35}} =c_0\,\sqrt{\frac{32}{35}}.

Passo 7

Calculando valores numéricos: \sqrt{8/35}\approx0,478 e \sqrt{32/35}\approx0,956.

Resposta

v_A = c_0\,\sqrt{\frac{8}{35}}\approx0,478\,c_0, \quad v_B = c_0\,\sqrt{\frac{32}{35}}\approx0,956\,c_0.

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