a) Defina torque, cite sua unidade e dê exemplos. É uma grandeza escalar ou vetorial?
b) Descreva todos os componentes das equações 10.2 e 10.3.
c) Explique a regra da mão direita apresentada na figura 10.4.
d) Descreva todos os componentes da equação 10.7.
e) Explique a resolução do exemplo 10.2.
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas distintas:
a) Definir torque, dar sua unidade, citar exemplos e dizer se é grandeza escalar ou vetorial.
b) Descrever todos os componentes das equações 10.2 e 10.3 (o enunciado refere-se a essas equações do Capítulo 10).
c) Explicar a regra da mão direita apresentada na figura 10.4 (o enunciado refere-se a essa figura).
d) Descrever todos os componentes da equação 10.7.
e) Explicar a resolução do exemplo 10.2 (referência ao exemplo do livro).
Informações dadas pelo enunciado: somente essas referências às equações/figura/exemplo do Cap. 10; não foi enviada a figura, nem o texto do capítulo nem os enunciados numerados. Portanto, quando eu descrever as equações numeradas, vou usar as formas padrão mais comuns em mecânica (se as equações do seu livro forem diferentes, diga e eu adapto).
Passo 2
O que é torque — definição conceitual e físico:
Torque é a tendência que uma força tem de fazer um corpo rodar em torno de um ponto ou eixo. Pense na força como empurrando uma alavanca; o torque mede quanto “gira” essa força consegue produzir. É útil separar duas ideias: onde a força age (ponto, vetor posição) e em que direção a força aponta.
Fórmula padrão (forma vetorial):
\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}
Expliquei cada símbolo:
\vec{\tau} é o vetor torque (direção e sentido dizem para que lado o objeto tende a girar).
\vec{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação ao ponto/centro sobre o qual calculamos o torque (por exemplo, do pivô até o ponto onde a força age).
\vec{F} é o vetor força aplicada.
O produto \times é o produto vetorial (cross product); ele gera um vetor perpendicular ao plano de \vec{r} e \vec{F}.
Unidade e natureza:
Unidade: newton-metro, i.e. \mathrm{N\cdot m}.
É uma grandeza vetorial: tem magnitude, direção e sentido. (Na prática, em problemas em plano costumamos tratar o torque como um escalar assinalado positivo/negativo relativo a um eixo perpendicular. Mas fisicamente o torque é vetor.)
Exemplos concretos:
Abrir uma porta: \vec{r} é o vetor do dobradiça até a maçaneta; \vec{F} é sua força na maçaneta.
Usar uma chave inglesa numa porca: maior |\vec{r}| (alavanca mais comprida) dá maior torque.
Balanço girando quando alguém empurra: a força aplicada distante do centro gera torque.
Passo 3
Interpretação das equações que normalmente aparecem como 10.2 e 10.3 (forma vetorial e forma do módulo). Vou assumir que 10.2 é a forma vetorial e 10.3 a forma do módulo. Descrição detalhada:
Equação vetorial (provável 10.2):
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}
Componentes/interpretação:
\vec{r} dá o ponto de aplicação e seu braço de alavanca: quanto maior a componente perpendicular de \vec{r} à força, maior o torque.
\vec{F} é a força aplicada: maiores componentes perpendiculares aumentam o torque.
O produto vetorial fornece direção do torque perpendicular ao plano formado por \vec{r} e \vec{F}.
Equação do módulo (provável 10.3):
\tau = r\,F\sin\theta
onde:
\tau é a magnitude do torque |\vec{\tau}|.
r é o comprimento do vetor \vec{r} (distância do pivô ao ponto de aplicação).
F é o módulo da força \vec{F}.
\theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}.
Interpretação física do \sin\theta: só a componente de \vec{F} perpendicular a \vec{r} produz rotação. Alternativamente podemos escrever:
\tau = F\,d
onde d é o braço de alavanca, isto é, a distância perpendicular do pivô à linha de ação da força (às vezes chamada de distância de momento). Explicação prática: se a força aponta radialmente (isto é, \theta=0 ou 180^\circ), \sin\theta=0 e o torque é zero — empurrando diretamente para dentro/fora não gira.
Passo 4
Como calcular componentes do torque em coordenadas (detalhe algébrico):
Se \vec{r}=(x,y,z) e \vec{F}=(F_x,F_y,F_z), o produto vetorial pode ser feito via determinante:
Explicação do que significa cada termo: por exemplo \tau_z = xF_y - yF_x é o momento em torno do eixo z; ele combina as partes das coordenadas que ficam no plano xy. Esses sinais aparecem naturalmente do determinante e correspondem à orientação do sistema de eixos (regra da mão direita).]
Passo 5
Casos práticos e exemplo numérico simples (passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora, quando possível):
Caso 2D (força e posição no plano xy): só precisa do componente perpendicular \tau_z. Se \vec{r}=(x,y,0) e \vec{F}=(F_x,F_y,0) então
\tau_z = xF_y - yF_x.
Exemplo numérico (muito direto): suponha que a força de 10\\ \mathrm{N} aja na direção y positiva em um ponto a 0{,}2\\ \mathrm{m} do pivô sobre o eixo x, isto é \vec{r}=(0{,}2,0,0) m (vou usar só coordenadas x e y) e \vec{F}=(0,10) N. Então
Esse é o torque que tende a girar o corpo no sentido positivo do eixo z (conforme regra da mão direita). Outro exemplo usando a fórmula com ângulo: se a força de 10\\ \mathrm{N} é aplicada numa alavanca de 0{,}2\\ \mathrm{m} com ângulo \theta=30^\circ entre \vec{r} e \vec{F}, então
Repare: ambos os métodos (com componentes ou com rF\sin\theta ou com F d) dão o mesmo resultado quando usados corretamente.
Passo 6
Explicação detalhada da regra da mão direita (figura 10.4): como usar na prática — passo a passo divertido.
Coloque a mão direita de forma que os dedos apontem na direção de \vec{r}.
Curve os dedos na direção de \vec{F} passando pelo menor ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. (Imagine “virar” \vec{r} até coincidir com \vec{F}.)
O polegar estendido indica a direção do vetor torque \vec{\tau}.
Interpretação prática: se o torque aponta para fora da página (polegar para você) chamamos isso, numa convenção comum, de torque positivo (rotacional no sentido anti-horário visto de cima); se aponta para dentro da página (polegar para longe de você) é torque negativo (sentido horário). Importante: sempre use a mão direita; a esquerda daria o sinal invertido (o que seria errado).
Passo 7
Descrição da equação que o livro frequentemente chama de 10.7 — a lei do movimento rotacional:
A forma típica é
\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = I\,\vec{\alpha}.
Expliquei cada parte:
\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} é a soma vetorial (resultante) dos torques externos aplicados ao corpo em relação ao mesmo eixo/ponto. Você soma vetores torque (atenção aos sinais/direções).
I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo considerado (analogia rotacional da massa). Tem unidade \mathrm{kg\cdot m^2}. Para um conjunto de massas pontuais: I=\sum m_i r_i^2. Para um corpo contínuo usa-se uma integral I=\int r^2\,\mathrm{d}m. Exemplos: barra fina de comprimento L em torno de seu centro: I=\tfrac{1}{12}mL^2; massa ponto m a distância r: I=mr^2. Existe o teorema dos eixos paralelos (Steiner) que permite deslocar o eixo: I=I_{\text{cm}}+m d^2.
\vec{\alpha} é a aceleração angular (vetor) — como rápido o corpo está aumentando sua velocidade angular. Unidade \mathrm{rad/s^2} (radianos são adimensionais, por isso a unidade do lado direito é \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}=\mathrm{N\cdot m}, compatível com torque).
Interpretação: assim como \sum \vec{F} = m \vec{a} dita a aceleração linear dada uma força resultante, \sum \vec{\tau} = I\vec{\alpha} diz a aceleração angular que surge a partir de um torque resultante. Use o mesmo cuidado com vetores e sinais: se torques opostos atuam, some vetorialmente.
Passo 8
Sobre o pedido (e) — explicar a resolução do exemplo 10.2 do livro: não tenho acesso ao texto/figura do exemplo 10.2 que você cita, portanto não posso explicar literalmente a resolução desse exemplo específico. Motivo: sem o enunciado, dados numéricos, diagrama ou texto do exemplo eu correria o risco de inventar a situação do livro.
Para não te deixar sem prática, vou resolver passo a passo um exemplo típico que aparece como “Exemplo 10.2” em muitos livros — assim você pratica a técnica que provavelmente serve para o exemplo do seu livro.
Exemplo prático substituto (resolução passo a passo):
Problema: uma força de 10\\ \mathrm{N} atua numa direção puramente y sobre um ponto cuja posição relativa ao pivô é \vec{r}=(0{,}2,\,0,\,0) m (i.e. 0{,}2 m ao longo do eixo x). Calcule o torque em torno do pivô.
Escreva vetores: \vec{r}=(0{,}2,0)\\ \mathrm{m} e \vec{F}=(0,10,0)\\ \mathrm{N}.
Use a fórmula em 2D para o componente z: \tau_z = xF_y - yF_x. Aqui x=0{,}2, F_y=10, y=0, F_x=0.
Direção: aplicando a regra da mão direita (dedos de x para y), o polegar aponta para +z — torque para fora da página; se no livro estiverem usando sinal positivo para anti-horário, esse resultado é positivo.
Interpretação final: o corpo tende a girar com torque de 2{,}0\\ \mathrm{N\cdot m} no sentido dado por \hat{k}.
Observações: se o exemplo do seu livro tiver ângulos, decomponha a força em componentes e aplique a mesma ideia; se forem várias forças, calcule cada torque (em torno do mesmo ponto) e some vetorialmente.
Resposta
a) Torque: \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. Unidade: \mathrm{N\cdot m}. É grandeza vetorial. Exemplos: abrir uma porta (maçaneta distante das dobradiças), usar chave inglesa, empurrar um balanço.
b) Equação (vetorial) \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}: \vec{r} = vetor posição (braço de alavanca), \vec{F} = vetor força, \times = produto vetorial que dá direção do torque. Equação (módulo) \tau=rF\sin\theta: r=módulo de \vec{r}, F=módulo de \vec{F}, \theta=ângulo entre \vec{r} e \vec{F}; alternativa \tau=F d com d=braço perpendicular.
c) Regra da mão direita (fig. 10.4): aponte dedos na direção de \vec{r}, curve-os até \vec{F}; o polegar indica a direção de \vec{\tau}. Polegar para fora da página = torque positivo (convencionalmente anti-horário visto do lado positivo do eixo).
d) Equação (provável 10.7) \sum \vec{\tau}_{\text{ext}}=I\vec{\alpha}: \sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = soma vetorial dos torques externos, I=momento de inércia (\mathrm{kg\cdot m^2}), \vec{\alpha}=aceleração angular (\mathrm{rad/s^2}). É a análoga rotacional de \sum\vec{F}=m\vec{a}.
e) Não é possível explicar literalmente o exemplo 10.2 do seu livro porque o enunciado/figura do exemplo não foram enviados; sem eles eu não posso reproduzir a resolução específica. (Acima forneci um exemplo prático substituto resolvido passo a passo que mostra a técnica usual.)