Um potencial elétrico em determinado volume espacial é dado por V=x^{2}+x y^{2}+y z. Determine, (a) o potencial, (b) o campo elétrico (\vec{E}) e (c) a direção e o sentido de \vec{E}, no ponto de coordenadas ( 3,4,5 ) dessa região.

Passo 1

O enunciado fornece o potencial elétrico no volume:
V = x^{2} + x y^{2} + y z.
Pede para determinar, no ponto de coordenadas (3,4,5), o seguinte:
  • (a) o valor do potencial nesse ponto;
  • (b) o campo elétrico \vec{E} nesse ponto;
  • (c) a direção e o sentido de \vec{E} nesse ponto.
Informações relevantes que temos:
x=3,\quad y=4,\quad z=5,
e a expressão de V dada acima. A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o potencial no ponto, substituindo \,x=3,\;y=4,\;z=5\, em V.
Mostro passo a passo as contas para você poder reproduzir fácil na prova.
Calcule cada termo:
x^{2} = 3^{2} = 9,
x y^{2} = 3 \cdot (4^{2}) = 3 \cdot 16 = 48,
y z = 4 \cdot 5 = 20.
Some os termos:
V(3,4,5) = 9 + 48 + 20 = 77.

Passo 3

Agora vamos lembrar a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. A fórmula fundamental que usamos é:
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V. Vou explicar o que é isso de forma bem direta: o gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de V em relação às coordenadas. Ou seja,
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Cada derivada parcial significa: vamos derivar V tratando as outras variáveis como constantes — é como se eu perguntasse “se eu aumento só x, quanto V muda?”.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma. Escrevo a expressão de V e aplico regras básicas de derivação (derivada de x^{2} é 2x; derivada de x y^{2} em relação a x é y^{2} porque y é tratada como constante; derivada de y z em relação a y ou z é a outra variável tratada como constante etc.).
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(xy^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(yz\big) = 2x + y^{2} + 0 = 2x + y^{2}.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(xy^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(yz\big) = 0 + 2xy + z = 2xy + z.
Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial z}\big(xy^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial z}\big(yz\big) = 0 + 0 + y = y.

Passo 5

Então o gradiente é
\nabla V = \big(2x + y^{2},\; 2xy + z,\; y\big).
Aplicando a definição do campo elétrico,
\vec{E} = -\nabla V = \big(-(2x + y^{2}),\; -(2xy + z),\; -y\big).
Isso ainda é uma expressão simbólica; agora vamos avaliar no ponto (3,4,5).

Passo 6

Avalie cada componente em x=3,\;y=4,\;z=5:
Primeira componente:
2x + y^{2} = 2\cdot 3 + 4^{2} = 6 + 16 = 22,
então componente de \vec{E} na direção x é -22.
Segunda componente:
2xy + z = 2\cdot 3\cdot 4 + 5 = 24 + 5 = 29,
então componente de \vec{E} na direção y é -29.
Terceira componente:
y = 4,
então componente de \vec{E} na direção z é -4.
Portanto, no ponto dado:
\vec{E}(3,4,5) = \langle -22,\; -29,\; -4\rangle.

Passo 7

Agora vamos obter a direção (vetor unitário) e o sentido de \vec{E}. A direção é dada pelo vetor \vec{E} normalizado, isto é, o vetor unitário
\hat{u} = \frac{\vec{E}}{\lVert \vec{E}\rVert}.
Calculemos o módulo \lVert \vec{E}\rVert:
\lVert \vec{E}\rVert = \sqrt{(-22)^{2} + (-29)^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{22^{2} + 29^{2} + 4^{2}}.
Calcule os quadrados:
22^{2} = 484,\qquad 29^{2} = 841,\qquad 4^{2} = 16.
Some:
484 + 841 + 16 = 1341.
Então
\lVert \vec{E}\rVert = \sqrt{1341} \approx 36{,}62.

Passo 8

O vetor unitário (direção) é
\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{1341}}\big(-22,\; -29,\; -4\big) \approx \big(-0{,}601,\; -0{,}792,\; -0{,}109\big).
Quanto ao sentido: como \vec{E} = -\nabla V, o campo aponta na direção em que o potencial diminui mais rapidamente. Aqui as três componentes de \vec{E}(3,4,5) são negativas, então o campo aponta no sentido de diminuir x, diminuir y e diminuir z (isto é, para os lados negativos de cada eixo) a partir do ponto dado. Em palavras amigáveis: o campo aponta para a direção indicada pelo vetor (-22,-29,-4), ou seja, para o “quadrante” com componentes negativas.

Resposta

(a) V(3,4,5)=77
(b) \vec{E}(3,4,5)=\langle -22,\,-29,\,-4\rangle
(c) Direção: \displaystyle \hat{u}=\frac{1}{\sqrt{1341}}(-22,-29,-4)\approx(-0{,}601,\,-0{,}792,\,-0{,}109). Sentido: aponta na direção de diminuição do potencial (vetor com componentes negativas, i.e., para -x,-y,-z).

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