Um potencial elétrico em determinado volume espacial é dado por
. Determine, (a) o potencial, (b) o campo elétrico
e (c) a direção e o sentido de
, no ponto de coordenadas (
) dessa região.
Passo 1
O enunciado fornece o potencial elétrico no volume:
Pede para determinar, no ponto de coordenadas
, o seguinte:
- (a) o valor do potencial nesse ponto;
- (b) o campo elétrico
nesse ponto; - (c) a direção e o sentido de
nesse ponto.
Informações relevantes que temos:
e a expressão de
dada acima. A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Primeiro vamos calcular o potencial no ponto, substituindo
em
.
Mostro passo a passo as contas para você poder reproduzir fácil na prova.
Mostro passo a passo as contas para você poder reproduzir fácil na prova.
Calcule cada termo:
Some os termos:
Passo 3
Agora vamos lembrar a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. A fórmula fundamental que usamos é:
Aqui
é o gradiente de
. Vou explicar o que é isso de forma bem direta: o gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação às coordenadas. Ou seja,
Cada derivada parcial significa: vamos derivar
tratando as outras variáveis como constantes — é como se eu perguntasse “se eu aumento só
, quanto
muda?”.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma. Escrevo a expressão de
e aplico regras básicas de derivação (derivada de
é
; derivada de
em relação a
é
porque
é tratada como constante; derivada de
em relação a
ou
é a outra variável tratada como constante etc.).
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Então o gradiente é
Aplicando a definição do campo elétrico,
Isso ainda é uma expressão simbólica; agora vamos avaliar no ponto
.
Passo 6
Avalie cada componente em
:
Primeira componente:
então componente de
na direção
é
.
Segunda componente:
então componente de
na direção
é
.
Terceira componente:
então componente de
na direção
é
.
Portanto, no ponto dado:
Passo 7
Agora vamos obter a direção (vetor unitário) e o sentido de
. A direção é dada pelo vetor
normalizado, isto é, o vetor unitário
Calculemos o módulo
:
Calcule os quadrados:
Some:
Então
Passo 8
O vetor unitário (direção) é
Quanto ao sentido: como
, o campo aponta na direção em que o potencial diminui mais rapidamente. Aqui as três componentes de
são negativas, então o campo aponta no sentido de diminuir
, diminuir
e diminuir
(isto é, para os lados negativos de cada eixo) a partir do ponto dado. Em palavras amigáveis: o campo aponta para a direção indicada pelo vetor
, ou seja, para o “quadrante” com componentes negativas.
Resposta
(a)
(b)
(c) Direção: . Sentido: aponta na direção de diminuição do potencial (vetor com componentes negativas, i.e., para
).
(b)
(c) Direção: