Um solenóide longo, de comprimento 0,456 \mathrm{~m} e de raio 10,0 \mathrm{~cm} possui 487 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma \mathrm{I}(\mathrm{t})=\mathrm{at}, onde a é uma constante que vale 4,17 \mathrm{~A} / \mathrm{~s}.
(a) Calcule o campo magnético em 10,0 s no interior do solenóide, considerando este como ideal.
(4 pontos) (A) 1,09 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (B) 6,56 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (C) 1,26 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (D) 1,92 \times 10^{-1} \mathrm{~T}, (E) 1,16 \times 10^{-1} \mathrm{~T},
(F) 2,52 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (G) 4,11 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (H) 4,83 \times 10^{-3} \mathrm{~T}, (I) 3,64 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (J) 3,46 \times 10^{-3} \mathrm{~T},(\mathrm{~K}) 2,93 \times 10^{-2} \mathrm{~T}, (L) 1,90 \times 10^{-2} \mathrm{~T},(\mathrm{~M}) 5,61 \times 10^{-2} \mathrm{~T},(\mathrm{~N}) 8,49 \times 10^{-3} \mathrm{~T},(\mathrm{~O}) 9,34 \times 10^{-2} \mathrm{~T},(\mathrm{~P}) 1,60 \times 10^{-2} \mathrm{~T}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o campo magnético no interior de um solenóide ideal no instante t=10{,}0\\ \mathrm{s}, dado que a corrente varia como I(t)=at com a=4{,}17\\ \mathrm{A/s}. Informações fornecidas importantes:
\text{comprimento } L=0{,}456\\ \mathrm{m},
\text{raio } r=10{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}100\\ \mathrm{m},
\text{número de espiras } N=487,ú
I(t)=a t\quad\text{com}\quad a=4{,}17\\ \mathrm{A/s},
\text{avaliar em } t=10{,}0\\ \mathrm{s}.
O problema é objetivo (há várias alternativas) e pede um único valor de campo magnético no interior do solenóide.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (para um solenóide longo e ideal):
B=\mu_{0}\,n\,I,
onde explico cada símbolo com calma:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, constante universal; numericamente \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • n é o número de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro), isto é
n=\frac{N}{L},
onde N é o número total de espiras e L o comprimento do solenóide.
  • I é a corrente que atravessa as espiras no instante considerado.
    Essa fórmula vem da lei de Ampère aplicada a um solenóide longo: o campo dentro é praticamente uniforme e igual a \mu_{0} n I. Não precisamos do raio para o valor interno no caso ideal.

Passo 3

Calcular a corrente no instante t=10{,}0\\ \mathrm{s}. Usando \;I(t)=a t\;:
I(10{,}0)=a\cdot 10{,}0=4{,}17\cdot 10{,}0=41{,}7\\ \mathrm{A}.
Vou usar esse valor de corrente no passo seguinte.

Passo 4

Calcular n=\dfrac{N}{L}:
n=\frac{487}{0{,}456}\\ \mathrm{espiras/m}.
Agora faço a divisão por etapas: 0{,}456 cabe aproximadamente 1067{,}98 vezes em 487, portanto
n\approx 1067{,}982456\\ \mathrm{espiras/m}.
(Arredondei após várias casas decimais para manter precisão suficiente; no resultado final usaremos número com 3 algarismos significativos.)

Passo 5

Agora calculamos B=\mu_{0} n I. Primeiro multiplicamos n por I:
nI \approx 1067{,}982456\times 41{,}7 \approx 44534{,}8674\\ \mathrm{A\cdot espiras/m}.
Agora multiplicamos por \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}:
B=4\pi\times10^{-7}\times 44534{,}8674.

Passo 6

Faço a conta final com cuidado: calculemos 4\pi\times 44534{,}8674 primeiro:
4\pi\times 44534{,}8674 \approx 559641{,}7
(portanto B\approx 559641{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}). Escrevendo com potência de dez:
B\approx 5{,}596417\times10^{-2}\\ \mathrm{T}.
Arredondando de forma compatível com as alternativas, obtemos
B\approx 5{,}61\times10^{-2}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde a 5{,}61\times10^{-2}\\ \mathrm{T} é a alternativa (M). Vou colocar a resposta final abaixo.

Resposta

(M) 5{,}61\times10^{-2}\\ \mathrm{T}

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