(Ex. 5, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane - 5{ }^{3} Edição)
Considere uma amostra de gás argônio a 35,0^{\circ} \mathrm{C} e sob pressão de a, 22 atm . Suponha que o raios de um átomo (esférico) de argônio seja de 0,710 \times 10^{-10} \mathrm{~m}. Calcule a fração do volume do recipiente que é realmente ocupada pelos átomos.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fração do volume do recipiente que é realmente ocupada pelos átomos de argônio.
Dados fornecidos:
\text{Temperatura: }T=35,0^\circ\mathrm{C}
\text{Pressão: }p=22\\ \text{atm}ã
\text{Raio atômico (esférico): }r=0,710\times10^{-10}\\ \mathrm{m}ôé
O objetivo concreto é obter a razão entre o volume total ocupado pelos átomos (soma dos volumes esféricos de todos os átomos) e o volume do recipiente, ou seja, a fração ocupada por unidade de volume.

Passo 2

Primeiro converto unidades para o sistema internacional (SI), porque as fórmulas que vamos usar exigem Kelvin e Pascal.
Converter temperatura para Kelvin:
T = 35,0^\circ\mathrm{C} = 35,0 + 273,15 = 308,15\\ \mathrm{K}
Converter pressão para Pascal (usa-se 1\\ \text{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
p = 22\\ \text{atm} = 22\times1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 2,22915\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
Anoto também o raio em notação mais direta:
r = 0,710\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 7,10\times10^{-11}\\ \mathrm{m}

Passo 3

Explico a ideia física e a fórmula que vamos usar para a densidade numérica (número de átomos por unidade de volume). Para um gás que pode ser tratado como ideal, a densidade numérica \,n=\dfrac{N}{V}\, (onde N é o número de partículas e V o volume) é dada pela lei dos gases em forma microscópica:
n=\frac{p}{k_B T}
Aqui:
  • p é a pressão em Pascal;
  • T é a temperatura em Kelvin;
  • k_B é a constante de Boltzmann, cujo valor é k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Calculo n passo a passo:
k_B T = \left(1,380649\times10^{-23}\right)\times308,15 = 4,2544698935\times10^{-21}\\ \mathrm{J}
n=\frac{p}{k_B T}=\frac{2,22915\times10^{6}}{4,2544698935\times10^{-21}} \approx 5,24006\times10^{26}\\ \mathrm{m^{-3}}
Interpretação: há aproximadamente 5,24\times10^{26} átomos por metro cúbico sob essas condições.

Passo 4

Cada átomo é aproximado por uma esfera de raio r. O volume de uma esfera é
v_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.á
Explico as partes: \pi é a constante geométrica (aprox. 3,14159), r é o raio em metros, então r^{3} tem unidades de \mathrm{m^{3}} e v_{\text{átomo}}á também.
Calculo numérico com r=7,10\times10^{-11}\\ \mathrm{m}:
r^{3}=(7,10\times10^{-11})^{3}=3,57911\times10^{-31}\\ \mathrm{m^{3}}
v_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}=4,18879020479\times3,57911\times10^{-31}\approx 1,49920\times10^{-30}\\ \mathrm{m^{3}}á

Passo 5

A fração do volume ocupado por unidade de volume (isto é, a razão entre o volume total dos átomos contidos em um metro cúbico e o próprio metro cúbico) é simplesmente:
\varphi = n\times v_{\text{átomo}}.á
Multiplico os valores que já calculei:
\varphi \approx (5,24006\times10^{26})\times(1,49920\times10^{-30}) \approx 7,859\times10^{-4}.
Interpretação: essa fração é pequena; para ver como fica em porcentagem multiplico por 100:
\phi_{\%}\approx 7,859\times10^{-4}\times100\% \approx 0,0786\%.
Comentário incentivador: resultado razoável — para um gás real em pressão relativamente alta (22 atm) ainda assim a fração de volume ocupada por átomos é muito pequena (ordem 10^{-4}), por isso gases são majoritariamente espaço vazio.

Resposta

\varphi \approx 7,86\times10^{-4} \,(\approx 0,0786\%)

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