Durante as aulas discutimos sobre o processo de propagação do som. Argumente/Justifique por quê a onda sonora tem velocidades diferentes quando se considera um processo isotérmico ou processo adiabático.
Considere: \gamma \approx 1,44 e a densidade do ar, nas condições de temperatura e pressão nor \mathrm{mal}, \rho_{o} \approx 10^{3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu argumente/justifique por que a onda sonora apresenta velocidades diferentes quando o processo é isotérmico ou adiabático. Além disso, devo usar os dados fornecidos. Informações relevantes dadas no enunciado:
  • \gamma \approx 1,44.
  • Densidade do ar nas condições normais: \rho_{0} \approx 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Devemos comparar a velocidade do som para um processo isotérmico e para um processo adiabático, e justificar a diferença.

Passo 2

Conceito físico-matemático fundamental (aula rápida): a velocidade de propagação de uma pequena perturbação de pressão num meio homogêneo é dada pela raiz quadrada da derivada da pressão em relação à densidade avaliada no processo que governa as variações durante a onda. Em fórmula:
c^{2}=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\text{processo}}.
Aqui:
  • c é a velocidade do som no meio.
  • p é a pressão do fluido.
  • \rho é a densidade do fluido.
  • \left(\dfrac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\text{processo}} significa que a derivada é tomada seguindo o caminho termodinâmico apropriado (isotérmico ou adiabático).
    Explicação curta: a razão entre a variação de pressão e a variação de densidade determina quão “rígido” o meio responde a compressões locais — quanto maior essa taxa, maior a velocidade de propagação.

Passo 3

Caso isotérmico (aula passo a passo): para um gás ideal em processo isotérmico temos a equação de estado
p=\rho R_{\text{espec}} T,
onde R_{\text{espec}} é a constante específica do gás e T é a temperatura (constante no processo isotérmico). Diferenciando em relação a \rho mantendo T constante:
\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{T}=R_{\text{espec}}T.
Usando também que p=\rho R_{\text{espec}}T podemos reescrever
\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{T}=\frac{p}{\rho}.
Portanto a velocidade isotérmica é
c_{\text{iso}}=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{T}}=\sqrt{\frac{p}{\rho}}.
Para obter um valor numérico preciso preciso da pressão. Em condições normais usamos a pressão atmosférica de referência p_{0}\approx 1,01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Substituindo \rho_{0} dado pelo enunciado:
c_{\text{iso}}=\sqrt{\frac{p_{0}}{\rho_{0}}}=\sqrt{\frac{1{,}01\times 10^{5}}{10^{3}}}=\sqrt{101}\\ \mathrm{m/s}\approx 10{,}05\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: este valor fica muito baixo porque a densidade fornecida ( \rho_{0}\approx 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}) é muito alta para ar usual — estou usando exatamente o valor pedido pelo enunciado.

Passo 4

Caso adiabático (aula passo a passo): para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a lei de potência
p=K\rho^{\gamma},
onde K é constante do processo e \gamma é a razão entre capacidades caloríficas (dado no enunciado). Diferenciando em relação a \rho:
\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}=\gamma K \rho^{\gamma-1}.
Usando p=K\rho^{\gamma} obtemos
\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}=\gamma\frac{p}{\rho}.
Logo a velocidade adiabática é
c_{\text{ad}}=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}}=\sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}=\sqrt{\gamma}\,c_{\text{iso}}.
Substituindo os números ( \gamma=1{,}44 e os mesmos p_{0} e \rho_{0} usados antes):
\sqrt{\gamma}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2,
c_{\text{ad}}=1{,}2\times 10{,}05\\ \mathrm{m/s}\approx 12{,}06\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação física (por que a diferença?): explique de forma simples e intuitiva
  • No processo adiabático não há troca de calor com o ambiente quando a onda comprime localmente o ar. A compressão aumenta a temperatura local e essa elevação de temperatura aumenta a pressão de restauração mais do que no caso isotérmico. Esse “endurecimento” do meio faz a perturbação se propagar mais rápido. Matematicamente isso aparece como o fator \gamma>1 na derivada \partial p/\partial\rho.
  • No processo isotérmico, o calor é instantaneamente trocado com o ambiente (ou o processo é suficientemente lento), mantendo a temperatura constante; assim a mesma compressão provoca um aumento menor de pressão do que no caso adiabático, e a onda propaga-se mais devagar.
    Resumo intuitivo: adiabático = sem troca de calor → meio “mais rígido” à compressão → velocidade maior; isotérmico = troca de calor mantém temperatura → meio “menos rígido” → velocidade menor.

Passo 6

Observação prática rápida (aula de verificação): se usarmos a densidade real típica do ar ao nível do mar ( \rho\approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}) obtemos números compatíveis com o que conhecemos:
c_{\text{iso}}\approx \sqrt{\frac{1{,}01\times 10^{5}}{1{,}2}}\approx 290\\ \mathrm{m/s},
c_{\text{ad}}\approx \sqrt{1{,}44}\times 290\\ \mathrm{m/s}\approx 348\\ \mathrm{m/s},
o que explica por que usualmente se cita c\approx 340\\ \mathrm{m/s} no ar (valor adiabático próximo, dependente de temperatura). Eu mostro isso só para você ver que a forma matemática e a interpretação física batem com a realidade quando usamos dados coerentes.

Resposta

\displaystyle c_{\text{iso}}=\sqrt{\frac{p_{0}}{\rho_{0}}}\approx 10{,}05\\ \mathrm{m/s}\n \displaystyle c_{\text{ad}}=\sqrt{\gamma\frac{p_{0}}{\rho_{0}}}=\sqrt{\gamma}\,c_{\text{iso}}\approx 12{,}06\\ \mathrm{m/s}

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