Durante as aulas discutimos sobre o processo de propagação do som. Argumente/Justifique por quê a onda sonora tem velocidades diferentes quando se considera um processo isotérmico ou processo adiabático.
Considere:
e a densidade do ar, nas condições de temperatura e pressão nor
.
Considere:
Passo 1
O enunciado pede que eu argumente/justifique por que a onda sonora apresenta velocidades diferentes quando o processo é isotérmico ou adiabático. Além disso, devo usar os dados fornecidos. Informações relevantes dadas no enunciado:
-
. - Densidade do ar nas condições normais:
. - Devemos comparar a velocidade do som para um processo isotérmico e para um processo adiabático, e justificar a diferença.
Passo 2
Conceito físico-matemático fundamental (aula rápida): a velocidade de propagação de uma pequena perturbação de pressão num meio homogêneo é dada pela raiz quadrada da derivada da pressão em relação à densidade avaliada no processo que governa as variações durante a onda. Em fórmula:
Aqui:
-
é a velocidade do som no meio. -
é a pressão do fluido. -
é a densidade do fluido. -
significa que a derivada é tomada seguindo o caminho termodinâmico apropriado (isotérmico ou adiabático).
Explicação curta: a razão entre a variação de pressão e a variação de densidade determina quão “rígido” o meio responde a compressões locais — quanto maior essa taxa, maior a velocidade de propagação.
Passo 3
Caso isotérmico (aula passo a passo): para um gás ideal em processo isotérmico temos a equação de estado
onde
é a constante específica do gás e
é a temperatura (constante no processo isotérmico). Diferenciando em relação a
mantendo
constante:
Usando também que
podemos reescrever
Portanto a velocidade isotérmica é
Para obter um valor numérico preciso preciso da pressão. Em condições normais usamos a pressão atmosférica de referência
. Substituindo
dado pelo enunciado:
Comentário didático: este valor fica muito baixo porque a densidade fornecida (
) é muito alta para ar usual — estou usando exatamente o valor pedido pelo enunciado.
Passo 4
Caso adiabático (aula passo a passo): para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a lei de potência
onde
é constante do processo e
é a razão entre capacidades caloríficas (dado no enunciado). Diferenciando em relação a
:
Usando
obtemos
Logo a velocidade adiabática é
Substituindo os números (
e os mesmos
e
usados antes):
Passo 5
Interpretação física (por que a diferença?): explique de forma simples e intuitiva
- No processo adiabático não há troca de calor com o ambiente quando a onda comprime localmente o ar. A compressão aumenta a temperatura local e essa elevação de temperatura aumenta a pressão de restauração mais do que no caso isotérmico. Esse “endurecimento” do meio faz a perturbação se propagar mais rápido. Matematicamente isso aparece como o fator
na derivada . - No processo isotérmico, o calor é instantaneamente trocado com o ambiente (ou o processo é suficientemente lento), mantendo a temperatura constante; assim a mesma compressão provoca um aumento menor de pressão do que no caso adiabático, e a onda propaga-se mais devagar.
Resumo intuitivo: adiabático = sem troca de calor → meio “mais rígido” à compressão → velocidade maior; isotérmico = troca de calor mantém temperatura → meio “menos rígido” → velocidade menor.
Passo 6
Observação prática rápida (aula de verificação): se usarmos a densidade real típica do ar ao nível do mar (
) obtemos números compatíveis com o que conhecemos:
o que explica por que usualmente se cita
no ar (valor adiabático próximo, dependente de temperatura). Eu mostro isso só para você ver que a forma matemática e a interpretação física batem com a realidade quando usamos dados coerentes.