(Ex. 29, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane - 5{ }^{3} Edição)
Calcule a fração das partículas de um gás que se movem com energia de translação entre 0,01 k T e 0,03 k T. Sugestão: Para \mathrm{E} \ll k T o termo \mathrm{e}^{-E k t} pode ser substituído por 1-E/kT. Por quê?)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fração das partículas de um gás cuja energia de translação está entre \,0,01\,kT e \,0,03\,kT.
Informações dadas e o que usamos:
  • Limites de energia: E_1=\;0,01\,kT e E_2=\;0,03\,kT.
  • A sugestão diz que, para E\ll kT, podemos aproximar \mathrm{e}^{-E/kT} por 1 - E/kT. O enunciado pede também implicitamente que justifiquemos essa substituição.

Passo 2

Vamos obter a densidade de probabilidade da energia de translação de uma partícula. Começamos pela distribuição de velocidades (Maxwell) em três dimensões: a densidade de probabilidade de encontrar velocidade entre v e v+dv é
f_v(v)\,dv = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/(2kT)}\,dv,
onde m é a massa da partícula, k a constante de Boltzmann e T a temperatura. Aqui v é a magnitude da velocidade. Explico rapidamente: o fator v^2 vem do volume de elemento em coordenadas esféricas (mais velocidades com módulo maior), e o expoente é o fator de Boltzmann para energia cinética (1/2)mv^2.

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variável de velocidade para energia translacional \,E=\tfrac{1}{2}mv^2. Daí
v=\sqrt{\frac{2E}{m}},\qquad dv=\frac{dE}{\sqrt{2mE}}.
Substituindo em f_v(v)\,dv obtemos a densidade de probabilidade por energia f_E(E)\,dE. Fazendo a álgebra (substituindo v^2, v e dv e simplificando os fatores de m e kT) chega-se à forma padrão
f_E(E)\,dE = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{(kT)^{3/2}} \sqrt{E}\, e^{-E/kT}\, dE.
Aqui f_E(E) tem a interpretação de densidade de probabilidade tal que a probabilidade de E estar entre E e E+dE é f_E(E)\,dE. Esta distribuição é normalizada: \int_0^\infty f_E(E)\,dE = 1.

Passo 4

É conveniente usar a variável adimensional
x=\frac{E}{kT}.
Então E=xkT e dE=kT\,dx. Substituindo em f_E(E)\,dE temos (os fatores em kT se cancelam)
f_x(x)\,dx = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x}\, e^{-x}\, dx.
Portanto a fração procurada é
P = \int_{x_1}^{x_2} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x}\, e^{-x}\, dx,
com x_1=0,01 e x_2=0,03.

Passo 5

Usamos a sugestão: para x\ll 1 vale a expansão de Taylor do exponencial em torno de x=0:
e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \cdots.
Como x aqui está entre 0,01 e 0,03, x é pequeno, então o primeiro termo de correção \tfrac{x^2}{2} é da ordem de 10^{-4} e contribui muito pouco quando multiplicado por \sqrt{x}. Assim, aproximamos
e^{-x} \approx 1 - x.
Com isso o integrando fica simples:
\sqrt{x}\,e^{-x} \approx \sqrt{x} - x^{3/2}.

Passo 6

Substituindo na integral,
P \approx \int_{x_1}^{x_2} \frac{2}{\sqrt{\pi}}\big(\sqrt{x} - x^{3/2}\big)\,dx = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left[\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{x}\,dx - \int_{x_1}^{x_2} x^{3/2}\,dx\right].
Calculo as primitivas:
\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2},\qquad \int x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}.
Logo
P \approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{x_1}^{x_2}.

Passo 7

Agora avaliamos numericamente cada termo. Primeiro calcule x^{3/2} e x^{5/2} em x_1=0,01 e x_2=0,03.
  • Para x_1=0,01:
x_1^{1/2}=0,1,\qquad x_1^{3/2}=0,01\cdot0,1=0,001,\qquad x_1^{5/2}=0,0001\cdot0,1=0,00001.
  • Para x_2=0,03:
x_2^{1/2}=\sqrt{0,03}\approx0,173205,\qquad x_2^{3/2}=0,03\cdot0,173205\approx0,00519615,
x_2^{5/2}=0,0009\cdot0,173205\approx0,0001558845.
Agora as combinações:
\frac{2}{3}x_2^{3/2}\approx\frac{2}{3}\cdot0,00519615\approx0,00346410, \qquad \frac{2}{5}x_2^{5/2}\approx0,4\cdot0,0001558845\approx0,0000623538,
\frac{2}{3}x_1^{3/2}\approx\frac{2}{3}\cdot0,001\approx0,0006666667, \qquad \frac{2}{5}x_1^{5/2}\approx0,4\cdot0,00001\approx0,000004.
Diferença entre limites:
\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{x_1}^{x_2} \approx(0,00346410-0,0000623538)-(0,0006666667-0,000004)
\approx0,0034017462-0,0006626667=0,0027390795.
O prefactor é \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}. Como \sqrt{\pi}\approx1,77245385,
\frac{2}{\sqrt{\pi}}\approx1,128379167.
Multiplicando:
P \approx 1,128379167\times0,0027390795\approx0,00309.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida da aproximação: o resultado P\approx0,00309 significa cerca de 0,309\% das partículas. A contribuição do termo +\tfrac{x^2}{2} esquecido na aproximação do exponencial seria da ordem de x^2\sqrt{x}\sim10^{-6} a 10^{-5} no intervalo considerado, logo a aproximação e^{-x}\approx1-x é adequada para essa faixa de energias tão pequenas.

Resposta

\,3,09\times10^{-3}

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