(Ex. 29, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane -
Edição)
Calcule a fração das partículas de um gás que se movem com energia de translação entre
e
. Sugestão: Para
o termo
pode ser substituído por 1-E/kT. Por quê?)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a fração das partículas de um gás cuja energia de translação está entre
e
.
Informações dadas e o que usamos:
Informações dadas e o que usamos:
- Limites de energia:
e . - A sugestão diz que, para
, podemos aproximar por . O enunciado pede também implicitamente que justifiquemos essa substituição.
Passo 2
Vamos obter a densidade de probabilidade da energia de translação de uma partícula. Começamos pela distribuição de velocidades (Maxwell) em três dimensões: a densidade de probabilidade de encontrar velocidade entre
e
é
onde
é a massa da partícula,
a constante de Boltzmann e
a temperatura. Aqui
é a magnitude da velocidade. Explico rapidamente: o fator
vem do volume de elemento em coordenadas esféricas (mais velocidades com módulo maior), e o expoente é o fator de Boltzmann para energia cinética
.
Passo 3
Agora fazemos a mudança de variável de velocidade para energia translacional
. Daí
Substituindo em
obtemos a densidade de probabilidade por energia
. Fazendo a álgebra (substituindo
,
e
e simplificando os fatores de
e
) chega-se à forma padrão
Aqui
tem a interpretação de densidade de probabilidade tal que a probabilidade de
estar entre
e
é
. Esta distribuição é normalizada:
.
Passo 4
É conveniente usar a variável adimensional
Então
e
. Substituindo em
temos (os fatores em
se cancelam)
Portanto a fração procurada é
com
e
.
Passo 5
Usamos a sugestão: para
vale a expansão de Taylor do exponencial em torno de
:
Como
aqui está entre
e
,
é pequeno, então o primeiro termo de correção
é da ordem de
e contribui muito pouco quando multiplicado por
. Assim, aproximamos
Com isso o integrando fica simples:
Passo 6
Substituindo na integral,
Calculo as primitivas:
Logo
Passo 7
Agora avaliamos numericamente cada termo. Primeiro calcule
e
em
e
.
- Para
:
- Para
:
Agora as combinações:
Diferença entre limites:
O prefactor é
. Como
,
Multiplicando:
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida da aproximação: o resultado
significa cerca de
das partículas. A contribuição do termo
esquecido na aproximação do exponencial seria da ordem de
a
no intervalo considerado, logo a aproximação
é adequada para essa faixa de energias tão pequenas.