Uma capa de fogão industrial tem a forma de um tronco de cone, com raio maior
, raio menor
e altura
. Calcule o volume da capa considerando que ela é gerada pela rotação da região entre as duas circunferências ao redor do eixo
.
Passo 1
O problema pede o volume de um tronco de cone obtido pela rotação de uma faixa entre duas circunferências de raios constantes em uma altura de 12 cm. O conteúdo é o método dos discos (ou cascas) para cálculo de volume de revolução, onde usamos a fórmula
e precisamos determinar a função raio
ao longo de
.
Passo 2
A reta que une o ponto
ao ponto
é a variação linear do raio. Por semelhança de triângulos (ou equação de reta), temos
Passo 3
Substituindo
na fórmula do volume, obtemos
Passo 4
Expandindo o integrando:
e integrando termo a termo de
a
:
Passo 5
Somando as parcelas do integral temos
o que leva a
Resposta
1900\pi\ \mathrm{cm}^3