Uma capa de fogão industrial tem a forma de um tronco de cone, com raio maior r1=15 cm, raio menor r2=10 cm e altura h=12 cm. Calcule o volume da capa considerando que ela é gerada pela rotação da região entre as duas circunferências ao redor do eixo x.
V=pi integral0^12(15-15-1012 x)^2 d x

Passo 1

O problema pede o volume de um tronco de cone obtido pela rotação de uma faixa entre duas circunferências de raios constantes em uma altura de 12 cm. O conteúdo é o método dos discos (ou cascas) para cálculo de volume de revolução, onde usamos a fórmula
V=piintegral0^12[r(x)]^2,dx
e precisamos determinar a função raio r(x) ao longo de x.

Passo 2

A reta que une o ponto (0,15) ao ponto (12,10) é a variação linear do raio. Por semelhança de triângulos (ou equação de reta), temos
r(x)=15-15-1012x=15-512x

Passo 3

Substituindo r(x) na fórmula do volume, obtemos
V=piintegral0^12gl(15-512xgr)^2dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
l(15-tfrac512xr)^2=225-252x+25144x^2,
e integrando termo a termo de 0 a 12:
integral0^12225,dx=225cdot12=2700,
integral0^12-252x,dx=-252cdot12^22=-900,
integral0^1225144x^2,dx=25144cdot12^33=100

Passo 5

Somando as parcelas do integral temos
2700-900+100=1900,
o que leva a
V=1900pi cm^3

Resposta

1900\pi\ \mathrm{cm}^3

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