Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem para analisar. Nosso objetivo é verificar se essa EDO é exata e, se for o caso, encontrar suas soluções. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma EDO exata e como testar isso na prática.
A EDO que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Queremos colocar a equação no formato padrão de uma EDO exata, que é:
Para isso, observe que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, podemos reescrever a equação original assim:
Agora, vamos isolar os termos com
e
:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, precisamos verificar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais. Ou seja, devemos checar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Como
não depende de
, a derivada parcial de
em relação a
é zero:
Passo 5
Agora, calculando
:
Similarmente,
não depende de
, então a derivada parcial de
em relação a
também é zero:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, temos:
Como ambas as derivadas são iguais, a EDO é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Primeiro, integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Passo 9
Integrando
em relação a
, encontramos
:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Para obter a solução geral da EDO, igualamos
a uma constante:
Resposta
A EDO é exata, e sua solução geral é:
onde
é uma constante arbitrária.