Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(2 y(x)-2) y^prime(x)+(2 x+3)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem para analisar. Nosso objetivo é verificar se essa EDO é exata e, se for o caso, encontrar suas soluções. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma EDO exata e como testar isso na prática.
A EDO que vamos analisar é:
(2 y(x)-2) y^prime(x) + (2 x + 3) = 0

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Queremos colocar a equação no formato padrão de uma EDO exata, que é:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Para isso, observe que y^prime(x) é a derivada de y em relação a x, ou seja, dy/dx. Então, podemos reescrever a equação original assim:
(2 y - 2) dydx + (2 x + 3) = 0
Agora, vamos isolar os termos com dx e dy:
(2 y - 2) dy + (2 x + 3) dx = 0
Agora, identificamos M(x, y) = 2 x + 3 e N(x, y) = 2 y - 2.

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos verificar se as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x são iguais. Ou seja, devemos checar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando partial Mpartial y:
M(x, y) = 2 x + 3
Como M não depende de y, a derivada parcial de M em relação a y é zero:
partial Mpartial y = 0

Passo 5

Agora, calculando partial Npartial x:
N(x, y) = 2 y - 2
Similarmente, N não depende de x, então a derivada parcial de N em relação a x também é zero:
partial Npartial x = 0

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, temos:
partial Mpartial y = 0 e partial Npartial x = 0
Como ambas as derivadas são iguais, a EDO é exata. Isso significa que existe uma função potencial Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M(x, y) e partial Phipartial y = N(x, y)

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função potencial Phi(x, y). Primeiro, integramos M(x, y) em relação a x:
Phi(x, y) = integral M(x, y) , dx = integral (2 x + 3) , dx = x^2 + 3 x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 8

Em seguida, derivamos Phi(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
partial Phipartial y = ddy(x^2 + 3 x + h(y)) = h'(y) = N(x, y) = 2 y - 2
Então:
h'(y) = 2 y - 2

Passo 9

Integrando h'(y) em relação a y, encontramos h(y):
h(y) = integral (2 y - 2) , dy = y^2 - 2 y + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 10

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão para Phi(x, y):
Phi(x, y) = x^2 + 3 x + y^2 - 2 y + C
Para obter a solução geral da EDO, igualamos Phi(x, y) a uma constante:
x^2 + 3 x + y^2 - 2 y = C

Resposta

A EDO é exata, e sua solução geral é:
x^2 + 3 x + y^2 - 2 y = C,
onde C é uma constante arbitrária.

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