Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem é exata. Se for, também precisamos encontrar a solução dessa equação. A matéria envolvida aqui é sobre EDOs exatas, que são aquelas que podem ser integradas diretamente para encontrar uma função que satisfaz a equação. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como verificar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da EDO que nos foi dada:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
Agora, para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $, e ver se elas são iguais. Ou seja, calcular:
Passo 4
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a EDO é exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a solução. Sabemos que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Para encontrar $ F(x, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece por causa da integração.
Passo 7
Integrando $ M $:
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
Simplificando:
Passo 8
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x, y) $:
A solução geral da EDO é então $ F(x, y) = constante $. Podemos escrever isso como:
Resposta
A EDO é exata e sua solução geral é: