Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(3 x^2-2 x y(x)+2) d x+(6 y(x)^2-x^2+10) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem é exata. Se for, também precisamos encontrar a solução dessa equação. A matéria envolvida aqui é sobre EDOs exatas, que são aquelas que podem ser integradas diretamente para encontrar uma função que satisfaz a equação. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como verificar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da EDO que nos foi dada:
(3x^2 - 2xy + 2),dx + (6y^2 - x^2 + 10),dy = 0
Aqui, podemos ver que:
M(x, y) = 3x^2 - 2xy + 2
N(x, y) = 6y^2 - x^2 + 10

Passo 3

Agora, para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $, e ver se elas são iguais. Ou seja, calcular:
M

Passo 4

Vamos calcular cada uma delas:
partial Mpartial y = partialpartial y(3x^2 - 2xy + 2) = -2x
partial Npartial x = partialpartial x(6y^2 - x^2 + 10) = -2x

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = -2x e partial Npartial x = -2x
Como elas são iguais, a EDO é exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a solução. Sabemos que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Para encontrar $ F(x, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
dF = M,dx + N,dy
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece por causa da integração.

Passo 7

Integrando $ M $:
M
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
integral (3x^2 - 2xy + 2),dx = x^3 - x^2y + 2x + h(y)
Simplificando:
F(x, y)

Passo 8

Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
h'(y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x, y) $:
h(y)
A solução geral da EDO é então $ F(x, y) = constante $. Podemos escrever isso como:
F(x, y)

Resposta

A EDO é exata e sua solução geral é:
x^3 - x^2y + 2x + 2y^3 + 10y = C

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