Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial de primeira ordem que a gente precisa verificar se é exata. Se for exata, a gente também vai encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas e entender como identificar e resolver essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la na forma padrão de uma equação exata, que é $ M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 $. A equação que temos é:
Multiplicando ambos os lados por $ 2x + 6y $ para eliminar o denominador, ficamos com:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
Como $ 3 \neq 2 $, a condição para a equação ser exata não é satisfeita.
Resposta
A equação diferencial não é exata.