A capacidade calorífica molar, a pressão constante, de uma amostra de um gás ideal varia com a temperatura de acordo com a expressão \mathrm{C}_{\mathrm{p}} /\left(\mathrm{J} \mathrm{K}^{-1}\right)=20,17+ 0,4001(\mathrm{~T} / \mathrm{K}). Calcule \mathrm{q}, \mathrm{w}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}, quando a temperatura é elevada de 25^{\circ} \mathrm{C} a 100 { }^{\circ} \mathrm{C}
a pressão constante.
Passo 1
O enunciado dá a capacidade calorífica molar a pressão constante como
Observação importante (decisão que tomei porque a massa/quantidade não foi dada): vou assumir que a amostra é de 1 mol, isto é, n=1 mol. Se fosse outro número de mols, basta multiplicar os resultados por n.
As quantidades pedidas são:
q (calor trocado) à pressão constante,
w (trabalho realizado pelo/sobre o sistema),
\Delta U (variação da energia interna),
\Delta H (variação da entalpia).
Passo 2
Relembrando as fórmulas essenciais e a intuição por trás delas (sem pular passos):
Para um processo a pressão constante, o calor trocado com a vizinhança é igual à variação da entalpia:
q_p = \Delta H.
Explicação: a entalpia H foi definida para processos a pressão constante de modo que calor medido sob P=\text{const} seja a variação de H.
A variação de entalpia para um gás ideal, por mol, é dada por
\Delta H = \int_{T_i}^{T_f} C_p(T)\,dT.
Aqui C_p(T) é a capacidade calorífica molar a pressão constante, função de T.
Para trabalho de expansão à pressão constante (convenção química: trabalho realizado pelo sistema é negativo),
w = -P\,\Delta V.
Para um gás ideal PV = nRT, assim \Delta V pode ser ligado a \Delta T. Usando P\Delta V = nR\Delta T, obtemos
w = -nR\Delta T.
Explicação: o sistema realiza trabalho quando se expande; a energia correspondente sai do sistema como trabalho (sinal negativo).
Variação da energia interna \Delta U pela primeira lei:
\Delta U = q + w.
Como q = \Delta H neste caso, podemos também escrever, para gás ideal,
\Delta U = \Delta H + w = \Delta H - nR\Delta T.
Alternativamente, usando C_v = C_p - R,
\Delta U = \int_{T_i}^{T_f} C_v(T)\,dT = \int_{T_i}^{T_f} \big(C_p(T) - R\big)\,dT.
Constantes a usar:
R = 8{,}3144626\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1},\qquad n=1.
Passo 3
Montagem das integrais explícitas usando a expressão dada para C_p(T).
Primeiro, a variação de entalpia (e portanto o calor a pressão constante):
\Delta H = \int_{T_i}^{T_f} \big(20,17 + 0,4001\,T\big)\,dT.
Interpretação final e incentivo: portanto, para 1 mol do gás ideal cuja C_p varia com a temperatura conforme dado, ao aquecer de 25^\circ\text{C} a 100^\circ\text{C} à pressão constante, o sistema absorve cerca de 1{,}16\times 10^{4}\\ \text{J} de calor; realiza trabalho de expansão da ordem de 6,2\times 10^{2}\\ \text{J} sobre o ambiente (portanto w negativo), e a energia interna aumenta em aproximadamente 1{,}10\times 10^{4}\\ \text{J}.
Força aí — já temos tudo pronto para decorar o passo a passo e aplicar o mesmo raciocínio em exercícios próximos: integrar C_p(T) para \Delta H, usar w=-nR\Delta T e \Delta U=\Delta H+w.
Resposta
q = \Delta H = 11584{,}8\\ \text{J (por mol)} w = -623{,}6\\ \text{J (por mol)} \Delta U = 10961{,}2\\ \text{J (por mol)} \Delta H = 11584{,}8\\ \text{J (por mol)}