Avalie Delta \mathrm{U} para um mol de oxigênio indo de -20^{\circ} \mathrm{C} até 37^{\circ} \mathrm{C} a volume constante, nos seguintes casos.
a) É um gás ideal \operatorname{com} C_{V, \mathrm{~m}}=20,78 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar \Delta U para 1 mol de oxigênio que vai de -20^\circ\mathrm{C} até 37^\circ\mathrm{C} a volume constante, no caso em que o gás é ideal e tem C_{V,m}=20,78\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}. Dados fornecidos:
n=1\\ \mathrm{mol},
T_1=-20^\circ\mathrm{C},
T_2=37^\circ\mathrm{C},
C_{V,m}=20,78\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1},
processo: volume constante.

Passo 2

Conceito fundamental (explicando como pensar rápido na prova):
Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Em particular, para uma variação de temperatura a volume constante a variação da energia interna por mol é dada por C_{V,m} vezes a variação de temperatura. A fórmula é
\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T.
Aqui:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (em joules),
  • n é o número de mols (aqui 1),
  • C_{V,m} é a capacidade térmica molar a volume constante (em \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}),
  • \Delta T = T_2-T_1 é a variação de temperatura (em kelvin). Observação prática: uma variação de temperatura em kelvin é numericamente igual à variação em graus Celsius, então você pode calcular \Delta T diretamente com os valores em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcule \Delta T. Usando os valores em graus Celsius:
\Delta T = 37^\circ\mathrm{C} - (-20^\circ\mathrm{C}) = 57\\ \mathrm{K}.
(Se quiser converter para kelvin: T_1=-20^\circ\mathrm{C}=253,15\\ \mathrm{K} e T_2=37^\circ\mathrm{C}=310,15\\ \mathrm{K}, daí 310,15-253,15=57\\ \mathrm{K}.)

Passo 4

Agora substituímos na fórmula \Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T. Como n=1:
\Delta U = 1 \times 20,78 \times 57\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Faço a multiplicação passo a passo (para você conseguir fazer na prova sem calculadora complicada):
20,78\times 57 = (20\times 57) + (0,78\times 57).
Calcule cada parte:
20\times 57 = 1140,
0,78\times 57 = 0,78\times(60-3)=0,78\times 60 - 0,78\times 3 = 46,8 - 2,34 = 44,46.
Somando:
1140 + 44,46 = 1184,46.
Portanto
\Delta U = 1184,46\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: com os dados dados, \Delta U = 1184,46\\ \mathrm{J}, que é aproximadamente 1,18\\ \mathrm{kJ} (arredondando para três algarismos significativos). Bom trabalho — esse tipo de exercício é direto se você lembrar da fórmula \Delta U = n C_{V,m} \Delta T para gás ideal a volume constante: foco na variação de temperatura e pronto!

Resposta

\Delta U = 1184,46\\ \mathrm{J}

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