Determine m real para que a equação m\left(2^{x}-1\right)^{2}-2^{x}\left(2^{x}-1\right)+1=0 admita pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores reais de m tais que a equação
m\left(2^{x}-1\right)^{2}-2^{x}\left(2^{x}-1\right)+1=0
admita pelo menos uma raiz real x.
Informações dadas importantes:
\text{a variável incógnita é }x\in\mathbb{R},\qquad 2^{x}>0\\ \text{para todo }x.áóé
Não há mais restrições explícitas no enunciado. A tarefa é achar o conjunto de valores de m para os quais existe algum x real que satisfaça a equação.

Passo 2

Vamos simplificar a equação usando uma mudança de variável que deixa a análise mais clara. Defina
y = 2^{x}.
Como 2^{x}>0 para todo x, temos o domínio
y>0.
Reescrevendo a equação em y:
m(y-1)^{2}-y(y-1)+1=0.
Observe também o caso y=1 corresponde a x=0; vamos checar y=1 diretamente: se y=1 a equação vira m\cdot 0 - 1\cdot 0 + 1 = 1 \neq 0, logo y=1 não é solução. Portanto podemos dividir por (y-1)^{2} quando necessário sem perder soluções válidas.

Passo 3

Isolamos m (a equação é linear em m):
m(y-1)^{2} = y(y-1)-1.
Como já vimos, para uma solução válida precisamos y>0 e y\neq 1. Assim
m = \frac{y(y-1)-1}{(y-1)^{2}}.
Definimos a função
f(y)=\frac{y^{2}-y-1}{(y-1)^{2}},
de modo que para existir uma raiz real x equivalendo a y=2^{x} temos que m=f(y) para algum y>0,\\ y\neq 1. Portanto o problema reduz-se a encontrar a imagem (o conjunto de valores) de f no domínio y>0,\\ y\neq 1.

Passo 4

Antes de calcular derivadas, simplifico mentalmente f. Uma forma conveniente é:
f(y)=\frac{y^{2}-y-1}{(y-1)^{2}}.
Vou estudar o comportamento de f em dois intervalos naturais: 0<y<1 e y>1 (com atenção ao ponto crítico y=3 que aparecerá).

Passo 5

Calculo a derivada f'(y) para localizar extremos. Use a regra do quociente:
N(y)=y^{2}-y-1,\qquad D(y)=(y-1)^{2}.
Então
N'(y)=2y-1,\qquad D'(y)=2(y-1).
A derivada é
f'(y)=\frac{N'(y)D(y)-N(y)D'(y)}{D(y)^{2}}.
Substituindo:
f'(y)=\frac{(2y-1)(y-1)^{2}-(y^{2}-y-1)\cdot 2(y-1)}{(y-1)^{4}}.
Fatorando (y-1) no numerador:
f'(y)=\frac{(y-1)\big[(2y-1)(y-1)-2(y^{2}-y-1)\big]}{(y-1)^{4}}.
Calculando o que está entre colchetes:
(2y-1)(y-1)=2y^{2}-3y+1,
2(y^{2}-y-1)=2y^{2}-2y-2,
então a diferença vale
(2y^{2}-3y+1)-(2y^{2}-2y-2)=-y+3.
Portanto o numerador final é (y-1)(-y+3) e
f'(y)=\frac{-(y-1)(y-3)}{(y-1)^{4}}=\frac{-(y-3)}{(y-1)^{3}}.

Passo 6

A partir de f'(y)=\dfrac{-(y-3)}{(y-1)^{3}} encontramos os pontos críticos e o comportamento monotônico:
  • f'(y)=0 ocorre em y=3.
  • f'(y) não está definida em y=1 (mas y=1 já era excluído do domínio).
    Agora o sinal de f':
  • Para 0<y<1: o denominador (y-1)^{3} é negativo, o numerador -(y-3)=3-y é positivo, logo f'(y)<0. Assim f é decrescente em (0,1).
  • Para 1<y<3: o denominador é positivo e o numerador positivo, logo f'(y)>0. Assim f é crescente em (1,3).
  • Para y>3: o numerador é negativo e o denominador positivo, então f'(y)<0. Assim f é decrescente em (3,\infty).
Conclusão: y=3 é um máximo local (na verdade será o máximo global dentro do domínio).

Passo 7

Calculo valores e limites importantes de f.
  1. Valor em y=3:
f(3)=\frac{3^{2}-3-1}{(3-1)^{2}}=\frac{9-3-1}{4}=\frac{5}{4}.
  1. Valor em y=2:
f(2)=\frac{4-2-1}{(2-1)^{2}}=\frac{1}{1}=1.
  1. Valor em y=\tfrac{3}{2}:
f\Big(\tfrac{3}{2}\Big)=\frac{\tfrac{9}{4}-\tfrac{3}{2}-1}{(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{4}}=-1.
(Esse cálculo nos garante que o valor -1 é atingido por f.)
  1. Limite quando y\to 1^{\pm}: como N(1)=1-1-1=-1 e D(y)\to 0^{+}, temos
\lim_{y\to 1^{\pm}} f(y) = -\infty.
  1. Limite quando y\to 0^{+}:
\lim_{y\to 0^{+}} f(y)=\frac{0-0-1}{(0-1)^{2}}=-1.
(Observação: y=0 não está no domínio, mas o limite é -1.)
  1. Limite quando y\to\infty:
\lim_{y\to\infty} f(y)=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{2}-y-1}{(y-1)^{2}}=1,
pois os termos de maior ordem dominam e a razão dos quadráticos tende a 1.

Passo 8

Combinando monotonicidade e valores-limite:
  • Em (0,1) temos f decrescente de \lim_{y\to 0^{+}}f(y)=-1 até f(y)\to -\infty quando y\to 1^{-}. Assim a imagem de f em (0,1) é (-\infty,-1) (o valor -1 não é atingido aqui, apenas aproximado).
  • Em (1,3) f cresce de -\infty (quando y\to 1^{+}) até f(3)=\tfrac{5}{4}. Nessa faixa f atinge, por exemplo, f(\tfrac{3}{2})=-1 e f(2)=1.
  • Em (3,\infty) f decresce de f(3)=\tfrac{5}{4} até \lim_{y\to\infty}f(y)=1.
Portanto a imagem total de f para y>0,\\ y\neq 1 é
(-\infty,\tfrac{5}{4}].
O valor \tfrac{5}{4} é atingido exatamente em y=3 (isto é, em x=\log_{2}3), e todos os valores menores que \tfrac{5}{4} são também atingidos em algum y>0,\\ y\neq 1.

Passo 9

Conclusão final: como cada solução corresponde a um y>0,\\ y\neq 1 com
m=f(y),
existe raiz real x da equação original se, e somente se, m pertence à imagem de f. Portanto os valores de m para os quais há pelo menos uma raiz real são exatamente
m\in\left(-\infty,\tfrac{5}{4}\right].

Resposta

\displaystyle m\le\frac{5}{4}

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