Determine m real para que a equação
admita pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores reais de
tais que a equação
admita pelo menos uma raiz real
.
Informações dadas importantes:
Não há mais restrições explícitas no enunciado. A tarefa é achar o conjunto de valores de
para os quais existe algum
real que satisfaça a equação.
Passo 2
Vamos simplificar a equação usando uma mudança de variável que deixa a análise mais clara. Defina
Como
para todo
, temos o domínio
Reescrevendo a equação em
:
Observe também o caso
corresponde a
; vamos checar
diretamente: se
a equação vira
, logo
não é solução. Portanto podemos dividir por
quando necessário sem perder soluções válidas.
Passo 3
Isolamos
(a equação é linear em
):
Como já vimos, para uma solução válida precisamos
e
. Assim
Definimos a função
de modo que para existir uma raiz real
equivalendo a
temos que
para algum
. Portanto o problema reduz-se a encontrar a imagem (o conjunto de valores) de
no domínio
.
Passo 4
Antes de calcular derivadas, simplifico mentalmente
. Uma forma conveniente é:
Vou estudar o comportamento de
em dois intervalos naturais:
e
(com atenção ao ponto crítico
que aparecerá).
Passo 5
Calculo a derivada
para localizar extremos. Use a regra do quociente:
Então
A derivada é
Substituindo:
Fatorando
no numerador:
Calculando o que está entre colchetes:
então a diferença vale
Portanto o numerador final é
e
Passo 6
A partir de
encontramos os pontos críticos e o comportamento monotônico:
-
ocorre em . -
não está definida em (mas já era excluído do domínio).
Agora o sinal de: - Para
: o denominador é negativo, o numerador é positivo, logo . Assim é decrescente em . - Para
: o denominador é positivo e o numerador positivo, logo . Assim é crescente em . - Para
: o numerador é negativo e o denominador positivo, então . Assim é decrescente em .
Conclusão:
é um máximo local (na verdade será o máximo global dentro do domínio).
Passo 7
Calculo valores e limites importantes de
.
- Valor em
:
- Valor em
:
- Valor em
:
(Esse cálculo nos garante que o valor
é atingido por
.)
- Limite quando
: como e , temos
- Limite quando
:
(Observação:
não está no domínio, mas o limite é
.)
- Limite quando
:
pois os termos de maior ordem dominam e a razão dos quadráticos tende a
.
Passo 8
Combinando monotonicidade e valores-limite:
- Em
temos decrescente de até quando . Assim a imagem de em é (o valor não é atingido aqui, apenas aproximado). - Em
cresce de (quando ) até . Nessa faixa atinge, por exemplo, e . - Em
decresce de até .
Portanto a imagem total de
para
é
O valor
é atingido exatamente em
(isto é, em
), e todos os valores menores que
são também atingidos em algum
.
Passo 9
Conclusão final: como cada solução corresponde a um
com
existe raiz real
da equação original se, e somente se,
pertence à imagem de
. Portanto os valores de
para os quais há pelo menos uma raiz real são exatamente