A capacidade limite do habitat de uma manada de animais é de 750 espécimes. A taxa de crescimento
da manada é proporcional a capacidade ociosa do habitat, o que é expresso pela EDO:
.
Se a população em determinado instante é 100 espécimes e após 2 anos a população aumentou para 160 espécimes, determine a solução particular.
Se a população em determinado instante é 100 espécimes e após 2 anos a população aumentou para 160 espécimes, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo! A gente tem uma manada com capacidade máxima de 750 animais. A taxa de crescimento da manada depende de quanto espaço tá sobrando no habitat, e isso é representado pela equação diferencial
. A gente sabe que inicialmente há 100 animais e, depois de 2 anos, a população cresceu para 160. Nosso objetivo é encontrar a solução particular dessa equação, ou seja, a função
que descreve a população em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando o método de separação de variáveis.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Podemos renomear
para
para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Vamos chamar
de
, então:
Passo 7
Resolvendo para
:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que quando
,
:
Então, nossa equação fica:
Passo 9
Usamos a segunda condição: após 2 anos (
), a população é 160:
Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por 650:
Passo 10
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o valor numérico de
(opcional, mas aqui vamos deixar a expressão simbólica).
Resposta
A solução particular da população da manada é:
onde
.