A capacidade limite do habitat de uma manada de animais é de 750 espécimes. A taxa de crescimento d N / d t da manada é proporcional a capacidade ociosa do habitat, o que é expresso pela EDO: d Nd t= k(750-N).
Se a população em determinado instante é 100 espécimes e após 2 anos a população aumentou para 160 espécimes, determine a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo! A gente tem uma manada com capacidade máxima de 750 animais. A taxa de crescimento da manada depende de quanto espaço tá sobrando no habitat, e isso é representado pela equação diferencial . A gente sabe que inicialmente há 100 animais e, depois de 2 anos, a população cresceu para 160. Nosso objetivo é encontrar a solução particular dessa equação, ou seja, a função que descreve a população em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando o método de separação de variáveis.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis dN750 - N = k , dt e :

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados:
integral 1750 - N , dN = integral k , dt
A integral do lado esquerdo é -ln|750 - N| = kt + C e do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
ln|750 - N| = -kt - C
Podemos renomear ln(750 - N) = -kt + C' para para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
750 - N = e^-kt + C' = e^C'e^-kt
Vamos chamar 750 - N = A e^-kt de , então:

Passo 7

Resolvendo para N = 750 - A e^-kt :
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar 100 = 750 - A e^0 Rightarrow 100 = 750 - A Rightarrow A = 750 - 100 = 650 e N = 750 - 650 e^-kt . Sabemos que quando , :
Então, nossa equação fica:

Passo 9

Usamos a segunda condição: após 2 anos ( 160 = 750 - 650 e^-2k ), a população é 160:
750 - 160 = 650 e^-2k Rightarrow 590 = 650 e^-2k
Vamos resolver para 590650 = e^-2k Rightarrow 118130 = e^-2k Rightarrow 5965 = e^-2k :
Dividindo ambos os lados por 650:

Passo 10

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(5965) = -2k Rightarrow k = -12 ln(5965)
Calculando o valor numérico de (opcional, mas aqui vamos deixar a expressão simbólica).

Resposta

A solução particular da população da manada é:
N(t) = 750 - 650 , e^-kt
onde .

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