A capacidade limite do habitat de uma manada de animais é de 750 espécimes. A taxa de crescimento d N / d t da manada é proporcional a capacidade ociosa do habitat, o que é expresso pela EDO: d Nd t= k(750-N).
Determine a população após 4 anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a capacidade máxima do habitat é de 750 animais e que a taxa de crescimento da manada depende de quanto espaço ainda está disponível. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente aquelas que modelam crescimento populacional limitado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e como resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que nos foi dada:
dNdt = k(750 - N)
Aqui, representa a população de animais em função do tempo , e é uma constante que relaciona a taxa de crescimento com a capacidade ociosa do habitat.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A maneira de resolver é encontrar uma função dNdt + kN = 750k que satisfaça essa equação. Vamos rearranjar para facilitar a resolução:

Passo 4

Agora, identificamos os coeficientes da equação:
  • mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^kt (coeficiente de )
  • (termo independente)
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^kt dNdt + ke^kt N = 750k e^kt
Isso simplifica para:
ddt ( e^kt N ) = 750k e^kt

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação ao tempo e^kt N = integral 750k e^kt , dt + C :
750k cdot e^ktk = 750 e^kt
A integral do lado direito é:
e^kt N = 750 e^kt + C
Então,

Passo 7

Agora, resolvemos para N = 750 + C e^-kt :
Onde é uma constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial, como .

Passo 8

Assumindo que no tempo inicial N0 = 750 + C e^0 , a população é C = N0 - 750 , substituímos para encontrar N(t) = 750 + (N0 - 750) e^-kt :
Então, a solução geral fica:

Passo 9

Agora, para encontrar a população após 4 anos, basta substituir N(4) = 750 + (N0 - 750) e^-k cdot 4 na equação:

Resposta

Após 4 anos, a população será:
N(4) = 750 + (N0 - 750) e^-4k

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