A capacidade limite do habitat de uma manada de animais é de 750 espécimes. A taxa de crescimento
da manada é proporcional a capacidade ociosa do habitat, o que é expresso pela EDO:
.
Determine a população após 4 anos.
Determine a população após 4 anos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a capacidade máxima do habitat é de 750 animais e que a taxa de crescimento da manada depende de quanto espaço ainda está disponível. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente aquelas que modelam crescimento populacional limitado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e como resolvê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação que nos foi dada:
Aqui,
representa a população de animais em função do tempo
, e
é uma constante que relaciona a taxa de crescimento com a capacidade ociosa do habitat.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A maneira de resolver é encontrar uma função
que satisfaça essa equação. Vamos rearranjar para facilitar a resolução:
Passo 4
Agora, identificamos os coeficientes da equação:
-
(coeficiente de ) -
(termo independente)
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado direito é:
Então,
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Onde
é uma constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial, como
.
Passo 8
Assumindo que no tempo inicial
, a população é
, substituímos para encontrar
:
Então, a solução geral fica:
Passo 9
Agora, para encontrar a população após 4 anos, basta substituir
na equação:
Resposta
Após 4 anos, a população será: