Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas especificas, de rápida reproduçăo. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilibrios, é possivel cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispōe de 5 litros do produto X . cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispöe deverả ser aplicada de uma única vez.
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
a) 2
b) 4
c) 6
e) 18

Passo 1

O enunciado diz que a população de larvas começa em 100 e cresce multiplicando-se por 10 a cada 3 dias, e que o agricultor tem 5 L do produto X, sendo 1 L suficiente para controlar 200 000 larvas. Vamos achar em que dia a população atinge 1 000 000 de larvas (que é o máximo que 5 L conseguem controlar).

Passo 2

O conteúdo aqui é crescimento exponencial discreto: a cada 3 dias a população é multiplicada por 10. Se chamarmos o número de períodos de 3 dias de n, a população após n períodos é
Pn = 100 times 10^n

Passo 3

Precisamos que P_n seja igual a 1 000 000 (5 L × 200 000 larvas/L). Então montamos:
100 times 10^n = 1,000,000
Ou seja:
10^2 times 10^n = 10^6
que implica
2 + n = 6 Longrightarrow n = 4

Passo 4

Como cada período n corresponde a 3 dias, o tempo t em dias é:
t = 3 times n = 3 times 4 = 12;dias

Resposta

12 dias

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