Qual a capacitância aproximada para um capacitor esférico tem raio maior \mathrm{b}=1,0 \mathrm{~cm} e raio menor \mathrm{a}=0,8 \mathrm{~cm} ? Tome ( \varepsilon 0=8,9 \times 10^{\wedge}\{-12\} \mathrm{F} / \mathrm{m} ).
\bigcirc 4,8 \mathrm{pF}
\bigcirc 4,3 \mathrm{pF}
\bigcirc 3,9 \mathrm{pF}
\bigcirc 4,5 \mathrm{pF}

Passo 1

O enunciado pede a capacitância aproximada de um capacitor esférico com raio interno e externo dados. Informações fornecidas:
\mathrm{a}=0,8\\ \mathrm{cm} (raio menor),
\mathrm{b}=1,0\\ \mathrm{cm} (raio maior),
\varepsilon_0=8,9\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
A pergunta é: qual a capacitância aproximada? (Há opções: 4,8\\ \mathrm{pF}, 4,3\\ \mathrm{pF}, 3,9\\ \mathrm{pF}, 4,5\\ \mathrm{pF}.)

Passo 2

Conceito e fórmula útil: a capacitância C de um capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios internos \mathrm{a} e externos \mathrm{b} é dada por
C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{\mathrm{a}\,\mathrm{b}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}.
Explicação rápida do porquê (intuição): capacitância é razão entre carga armazenada e diferença de potencial; para geometrias com simetria se calcula o potencial entre as superfícies integrando o campo elétrico e relacionando com a carga. O resultado para duas esferas concêntricas leva à forma acima, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (unidade \mathrm{F/m}), \mathrm{a} e \mathrm{b} são comprimentos em metros.

Passo 3

Converter os raios para o SI (metros), pois \varepsilon_0 está em \mathrm{F/m}:
\mathrm{a}=0,8\\ \mathrm{cm}=0,008\\ \mathrm{m}, \qquad \mathrm{b}=1,0\\ \mathrm{cm}=0,010\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o termo \dfrac{\mathrm{a}\,\mathrm{b}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}:
\mathrm{a}\,\mathrm{b}=0,008\times 0,010=8{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2,
\mathrm{b}-\mathrm{a}=0,010-0,008=0,002\\ \mathrm{m},
\frac{\mathrm{a}\,\mathrm{b}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}=\frac{8{,}0\times 10^{-5}}{0,002}=0{,}04\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora calcular C usando a fórmula:
C = 4\pi \varepsilon_0 \cdot 0{,}04.
Substituindo \varepsilon_0=8{,}9\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
C = 4\pi \times 8{,}9\times 10^{-12}\times 0{,}04.

Passo 6

Fazendo a conta (passo a passo):
8{,}9\times 10^{-12}\times 0{,}04 = 3{,}56\times 10^{-13},
4\pi \approx 12{,}5664,
C \approx 12{,}5664\times 3{,}56\times 10^{-13}\approx 4{,}48\times 10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Converter para picofarads ( 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}):
C \approx 4{,}48\\ \mathrm{pF}.
Arredondando à opção mais próxima nas alternativas, escolhemos \;4{,}5\\ \mathrm{pF}.

Resposta

4,5 pF

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