Qual a capacitância aproximada para um cilíndrico com raio maior \mathrm{b}=1,0 cm , raio menor \mathrm{a}=0,6 \mathrm{~cm} e altura 3 cm ? Tome \left(\varepsilon 0=8,9 \times 10^{\wedge}\{-12\} \mathrm{F} / \mathrm{m}\right).
\bigcirc 2,2 \mathrm{pF}
\bigcirc 11 pF
\bigcirc 6,8 \mathrm{pF}
\bigcirc 3,3 \mathrm{pF}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a capacitância aproximada de um capacitor cilíndrico com os dados fornecidos.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
b = 1{,}0\\ \mathrm{cm},\quad a = 0{,}6\\ \mathrm{cm},\quad L = 3{,}0\\ \mathrm{cm},
\varepsilon_0 = 8{,}9\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Queremos a capacitância C em farads (ou em pF).

Passo 2

Ideia física e fórmula a usar (vou derivar passo a passo para você usar na prova). Considere duas superfícies coaxiais cilíndricas (raio interno a, raio externo b) de comprimento L. Se a carga total no condutor interno for Q, definimos a densidade linear de carga \lambda por
\lambda=\frac{Q}{L}.
Pela simetria cilíndrica e pela Lei de Gauss, o campo elétrico radial entre os cilindros (para a<r<b) é dado por
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r},
onde \varepsilon é a permissividade do meio (aqui usamos \varepsilon=\varepsilon_0). Essa fórmula vem de aplicar Gauss em um cilindro coaxial: fluxo E\cdot(2\pi r L)=Q_{\text{enc}}/\varepsilon=\lambda L/\varepsilon, daí E=\lambda/(2\pi\varepsilon r).

Passo 3

A diferença de potencial entre os cilindros é a integral do campo:
V=\int_a^b E(r)\,dr=\int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}\,dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Capacitância definida por C=Q/V. Substituindo Q=\lambda L e V acima:
C=\frac{\lambda L}{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)}=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Aqui: C é a capacitância total, \varepsilon a permissividade, L o comprimento útil, e \ln o logaritmo natural.

Passo 4

Converter unidades para o SI (métrico):
a=0{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}006\\ \mathrm{m},\quad b=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},\quad L=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o denominador \ln(b/a). Primeiro a razão:
\frac{b}{a}=\frac{0{,}01}{0{,}006}=1{,}666666\ldots
Logo
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\approx 0{,}5108256.

Passo 6

Calcular o numerador 2\pi\varepsilon_0 L:
2\pi\varepsilon_0 L = 2\pi\cdot(8{,}9\times10^{-12})\cdot 0{,}03.
Faço em duas etapas:
2\pi\cdot 0{,}03 \approx 0{,}1884956,
0{,}1884956\times 8{,}9\times10^{-12}\approx 1{,}6773\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.

Passo 7

Agora a capacitância:
C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}=\frac{1{,}6773\times10^{-12}}{0{,}5108256}\approx 3{,}283\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Em picofarads:
C\approx 3{,}28\\ \mathrm{pF}.
Arredondando de forma prática para combinar com as opções, C\approx 3{,}3\\ \mathrm{pF}.

Resposta

3{,}3\\ \mathrm{pF}

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