Questão 8. Considere uma partícula A de massa m se movendo com velocidade v_{A}=v e outra partícula B de massa 2 m se movendo com velocidade v_{B}=\frac{v}{2}. As partículas se movem perpendicularmente. Calcule o vetor e o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o vetor da velocidade do centro de massa do sistema formado por duas partículas e o módulo dessa velocidade.
Informações dadas:
  • Partícula A tem massa m e velocidade v_{A}=v.
  • Partícula B tem massa 2m e velocidade v_{B}=\dfrac{v}{2}.
  • As velocidades de A e B são perpendiculares entre si.

Passo 2

Vou escolher um sistema de referência simples para traduzir “perpendiculares” em vetores: tomo o eixo x alinhado com a velocidade de A e o eixo y alinhado com a velocidade de B. Assim posso escrever os vetores velocidade como:
\vec{v}_A = v\,\hat{\mathbf{i}}
\vec{v}_B = \frac{v}{2}\,\hat{\mathbf{j}}
Escolhi as direções positivas por conveniência; trocar o sinal de alguma direção só mudaria o sinal do componente correspondente (o procedimento é o mesmo).

Passo 3

A fórmula que usamos para a velocidade do centro de massa é a média ponderada pelas massas:
\vec{v}_{CM}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec{v}_i
Aqui: M é a massa total do sistema e a soma percorre todas as partículas. Essa fórmula vem do fato de que M\vec{v}_{CM}=\sum_i m_i\vec{v}_i, ou seja, o momento total dividido pela massa total dá a velocidade do centro de massa. Nessa expressão:
  • m_i são as massas individuais,
  • \vec{v}_i são as velocidades vetoriais,
  • M=\sum_i m_i.

Passo 4

Calculo a massa total:
M = m + 2m = 3m.

Passo 5

Agora calculo o numerador \sum m_i\vec{v}_i:
m\vec{v}_A + 2m\vec{v}_B = m\big(v\,\hat{\mathbf{i}}\big) + 2m\big(\tfrac{v}{2}\,\hat{\mathbf{j}}\big).
Faço as multiplicações escalares passo a passo:
m v\,\hat{\mathbf{i}} + 2m\cdot\frac{v}{2}\,\hat{\mathbf{j}} = m v\,\hat{\mathbf{i}} + m v\,\hat{\mathbf{j}}.
Posso fatorar m v:
m v(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).

Passo 6

Divido pelo total M=3m para obter \vec{v}_{CM}:
\vec{v}_{CM}=\frac{m v(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})}{3m}=\frac{v}{3}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).
Repare que a massa m cancela —isso é comum quando as massas aparecem em todos os termos proporcionalmente.

Passo 7

Agora calculo o módulo de \vec{v}_{CM}. Se \vec{v}_{CM} tem componentes v_x e v_y, então
|\vec{v}_{CM}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Aqui v_x=\dfrac{v}{3} e v_y=\dfrac{v}{3}. Substituindo:
|\vec{v}_{CM}|=\sqrt{\left(\tfrac{v}{3}\right)^2+\left(\tfrac{v}{3}\right)^2}=\sqrt{2\left(\tfrac{v}{3}\right)^2}=\frac{v}{3}\sqrt{2}.
Intuição rápida: os momentos nas direções x e y ficaram iguais ( m v cada), por isso o vetor do centro de massa aponta a 45^\circ entre os eixos e tem módulo \dfrac{v\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_{CM}=\frac{v}{3}\big(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}\big)
\displaystyle |\vec{v}_{CM}|=\frac{v\sqrt{2}}{3}

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