Questão 8. Considere uma partícula
de massa
se movendo com velocidade
e outra partícula
de massa
se movendo com velocidade
. As partículas se movem perpendicularmente. Calcule o vetor e o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o vetor da velocidade do centro de massa do sistema formado por duas partículas e o módulo dessa velocidade.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Partícula
tem massa e velocidade . - Partícula
tem massa e velocidade . - As velocidades de
e são perpendiculares entre si.
Passo 2
Vou escolher um sistema de referência simples para traduzir “perpendiculares” em vetores: tomo o eixo
alinhado com a velocidade de
e o eixo
alinhado com a velocidade de
. Assim posso escrever os vetores velocidade como:
Escolhi as direções positivas por conveniência; trocar o sinal de alguma direção só mudaria o sinal do componente correspondente (o procedimento é o mesmo).
Passo 3
A fórmula que usamos para a velocidade do centro de massa é a média ponderada pelas massas:
Aqui:
é a massa total do sistema e a soma percorre todas as partículas. Essa fórmula vem do fato de que
, ou seja, o momento total dividido pela massa total dá a velocidade do centro de massa. Nessa expressão:
-
são as massas individuais, -
são as velocidades vetoriais, -
.
Passo 4
Calculo a massa total:
Passo 5
Agora calculo o numerador
:
Faço as multiplicações escalares passo a passo:
Posso fatorar
:
Passo 6
Divido pelo total
para obter
:
Repare que a massa
cancela —isso é comum quando as massas aparecem em todos os termos proporcionalmente.
Passo 7
Agora calculo o módulo de
. Se
tem componentes
e
, então
Aqui
e
. Substituindo:
Intuição rápida: os momentos nas direções
e
ficaram iguais (
cada), por isso o vetor do centro de massa aponta a
entre os eixos e tem módulo
.