(Potencial - similar) Um plano infinito com
. Tomando
, encontre
para
. (Use
e
.)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a função potencial
para
de um plano infinito carregado com densidade superficial
, sabendo que
. Foi dado também que podemos usar
e que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Explicação física e derivação curta de
(para você poder usar isso na prova com confiança).
- Ideia: usar a Lei de Gauss. Tome uma “caixinha” cilíndrica (pillbox) atravessando o plano, com faces planas de área
uma acima e outra abaixo do plano. O fluxo elétrico total pela superfície fechada é a soma dos fluxos pelas duas faces planas (as laterais não contribuem porque o campo é paralelo a elas). - A carga contida na caixinha é
. - A Lei de Gauss diz:
- Como o campo tem mesma magnitude
nas duas faces e aponta para fora do plano em ambos os lados (para o campo sai do plano), o fluxo é . Assim:
- Direção: para
o campo aponta no sentido para (ou seja, para ).
Passo 3
Definição do potencial elétrico e aplicação ao problema.
- Definição que usamos: a diferença de potencial entre
e é
- Aqui escolhemos a trajetória retilínea ao longo do eixo
, então e, para , . Portanto
- Como o enunciado fixa
, temos:
Passo 4
Colocando valores numéricos e interpretando o sinal.
- Substituindo
e :
- Assim o potencial fica numericamente
onde
está em metros.
- Interpretação do sinal: para
o campo aponta para fora do plano (no sentido positivo de para ), portanto ao nos afastarmos do plano o potencial decresce (por isso o sinal negativo). O potencial varia linearmente com porque o campo é constante (plano infinito).
Passo 5
Exemplos rápidos para ganhar intuição e encorajamento.
- Em
:
- Em
:
- Observação: esses números mostram que um plano com
dessa ordem cria um campo/potencial bastante grande; não se assuste — é típico de distribuições eletrostáticas com densidades de carga relativamente altas.