(Potencial elétrico) Uma esfera condutora de raio R=5,0 \mathrm{~cm} tem Q=+40 \mathrm{nC}. Determine V(R) e o trabalho para levar +1,0 \mathrm{nC} do infinito até a superfície. Resposta: V(R)= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{R} \approx 8,99 \times 10^{9} \frac{40 \times 10^{-9}}{0,050} \approx 7,2 \times 10^{3} \mathrm{~V}. W=q V \approx 1,0 \times 10^{-9} \times 7,2 \times 10^{3}=7,2 \times 10^{-6} \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o potencial na superfície da esfera condutora e o trabalho necessário para levar uma carga positiva do infinito até essa superfície. Os dados fornecidos são:
R=5{,}0\\ \mathrm{cm},\quad Q=+40\\ \mathrm{nC},\quad q=+1{,}0\\ \mathrm{nC}.
Aqui eu já converti as unidades mais usadas para o SI nos próximos passos (vou mostrar a conversão): a esfera tem raio R em metros, Q e q em coulombs. A tarefa é calcular V(R) e o trabalho W (energia) para mover q do infinito até a superfície.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Uma esfera condutora carregada com carga Q comporta-se, para pontos fora e na superfície, como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Portanto o potencial elétrico para r\ge R é dado por
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Explicando as variáveis: V(r) é o potencial elétrico no ponto a distância r do centro; Q é a carga total da esfera; r é a distância onde queremos o potencial; \varepsilon_{0} é uma constante física ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). O potencial é medido em volts (V).
  • O potencial no infinito é convenção com V(\infty)=0. O trabalho (energia) necessário para trazer uma carga q do infinito até um ponto com potencial V é
W=q\bigl(V(\text{final})-V(\infty)\bigr)=q\,V(\text{final}).
Se q e V têm mesmos sinais (ambos positivos), W>0 e precisamos gastar energia para aproximar a carga.

Passo 3

Conversões e valor numérico útil:
R=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}050\\ \mathrm{m},
Q=40\\ \mathrm{nC}=40\times10^{-9}\\ \mathrm{C},
q=1{,}0\\ \mathrm{nC}=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
A constante 1/(4\pi\varepsilon_{0}) é frequentemente usada e vale aproximadamente
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Vou usar esse valor para calcular V(R).

Passo 4

Cálculo do potencial na superfície V(R). Usando a fórmula com r=R:
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R}.
Substituindo os números:
V(R)\approx\bigl(8{,}99\times10^{9}\bigr)\frac{40\times10^{-9}}{0{,}050}.
Faço a conta passo a passo:
8{,}99\times10^{9}\times 40\times10^{-9}=(8{,}99\times40)\times10^{9-9}=359{,}6\times10^{0}=359{,}6.
Agora divido por 0{,}050 (que é o mesmo que multiplicar por 20):
V(R)\approx 359{,}6\times20=7\,192\\ \mathrm{V}.
Arredondando razoavelmente:
V(R)\approx 7{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Relação trabalho–potencial (recapitulando): o trabalho para levar q do infinito até a superfície é
W=q\,V(R),
pois V(\infty)=0. Aqui q é a carga trazida (no enunciado q=+1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}).

Passo 6

Cálculo do trabalho W:
W=q\,V(R)=\bigl(1{,}0\times10^{-9}\bigr)\times\bigl(7{,}192\bigr)\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
W\approx 7{,}192\times10^{-6}\\ \mathrm{J}\approx 7{,}19\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
W\approx 7{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação curta: como Q>0 e q>0, o trabalho é positivo — foi necessário gastar energia para aproximar q da esfera carregada positivamente.

Resposta

V(R)\approx 7{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{V}\n
W\approx 7{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{J}

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