A Capacitância de um capacitor retangular de placas paralelas (a=0,2m,b=0,4me \mathrm{d}=0,2 \mathrm{~m}) com um dielétrico desconhecido no seu interior tem o mesmo valor de um capacitor esférico ( a=0,2 m, b=0,4 m ) com vácuo em seu interior. Qual o valor da constante dielétrica ( \kappa_{\mathrm{D}} ) do material no capacitor retangular?
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Passo 1

O enunciado dá dois capacitores e pede a constante dielétrica \kappa_{\mathrm{D}} do material que preenche o capacitor retangular de placas paralelas, sabendo que esse capacitor tem a mesma capacitância que um capacitor esférico em vácuo. Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
a=0,2\\ \mathrm{m},\qquad b=0,4\\ \mathrm{m},\qquad d=0,2\\ \mathrm{m}.
Informações específicas:
  • Capacitor retangular (placas paralelas): dimensões das placas a e b (portanto área A=a\cdot b), separação entre placas d, dielétrico desconhecido com constante \kappa_{\mathrm{D}}.
  • Capacitor esférico: esferas concêntricas com raios interno a e externo b, preenchido com vácuo (constante dielétrica igual a 1).
    O que o problema pede:
  • Determinar \kappa_{\mathrm{D}} tal que a capacitância do capacitor retangular seja igual à capacitância do capacitor esférico em vácuo.

Passo 2

Fórmula do capacitor de placas paralelas preenchido por um dielétrico homogêneo: comece lembrando a definição de capacitância como razão entre carga e diferença de potencial,
C=\frac{Q}{V}.
Para placas paralelas com área A, separação d e dielétrico de constante \kappa, o campo elétrico entre as placas (assumindo campo uniforme) é
E=\frac{\sigma}{\kappa\epsilon_0},
onde \sigma=Q/A é a densidade de carga superficial e \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. A diferença de potencial entre placas é V=E\,d. Substituindo,
V=\frac{Q}{A}\frac{d}{\kappa\epsilon_0}.
Então a capacitância fica
C_{\text{placas}}=\frac{Q}{V}=\kappa\epsilon_0\frac{A}{d}.
Aqui: \kappa é a constante dielétrica (adimensional), \epsilon_0 tem unidade \mathrm{F/m}, A é a área das placas e d é a distância entre elas. No nosso caso A=a\cdot b.

Passo 3

Calcule a área A das placas (uso os valores numéricos dados):
A=a\cdot b=0,2\cdot 0,4=0,08\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Fórmula do capacitor esférico em vácuo: para duas esferas concêntricas de raios internos a e externos b em vácuo, o campo radial produzido por uma carga Q na esfera interna é
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\quad\text{para }a\le r\le b.
A diferença de potencial entre as esferas é a integral de -E\,dr:
V=\int_a^b \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\,dr=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\Big(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Big).
Logo a capacitância é
C_{\text{esférico}}=\frac{Q}{V}=\frac{4\pi\epsilon_0}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}=\frac{4\pi\epsilon_0 ab}{\,b-a\,}.é
Expliquei cada passo: expressão de E (lei de Coulomb para campo radial), integração para obter V e definição C=Q/V.

Passo 5

Igualando as capacitâncias (condição do enunciado: têm o mesmo valor) e escrevendo explicitamente os símbolos:
\kappa_{\mathrm{D}}\epsilon_0\frac{A}{d}=\frac{4\pi\epsilon_0 ab}{\,b-a\,}.
Cancelamos \epsilon_0 dos dois lados (não é zero) e substituímos A=ab:
\kappa_{\mathrm{D}}\frac{ab}{d}=\frac{4\pi ab}{\,b-a\,}.
Agora simplificamos ab em ambos os lados:
\kappa_{\mathrm{D}}\frac{1}{d}=\frac{4\pi}{\,b-a\,}.
Isolando \kappa_{\mathrm{D}}:
\kappa_{\mathrm{D}}=\frac{4\pi d}{\,b-a\,}.
Mostrei passo a passo a álgebra: cancelamento de \epsilon_0, substituição da área, cancelamento de ab e resolução para \kappa_{\mathrm{D}}.

Passo 6

Substitua os valores numéricos ( d=0,2\\ \mathrm{m}, b-a=0,4-0,2=0,2\\ \mathrm{m}):
\kappa_{\mathrm{D}}=\frac{4\pi\cdot 0,2}{0,2}=4\pi.
Em valor decimal aproximado (usar vírgula como separador):
\kappa_{\mathrm{D}}=4\pi\approx 12,57.
Observação rápida: \kappa_{\mathrm{D}} é adimensional (constante dielétrica), e o resultado obtido é compatível com materiais de constante dielétrica relativamente alta.

Resposta

\kappa_{\mathrm{D}}=4\pi\approx 12,57

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