A Capacitância de um capacitor retangular de placas paralelas (a=0,2m,b=0,4me
com um dielétrico desconhecido no seu interior tem o mesmo valor de um capacitor esférico (
) com vácuo em seu interior. Qual o valor da constante dielétrica (
) do material no capacitor retangular?
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Passo 1
O enunciado dá dois capacitores e pede a constante dielétrica
do material que preenche o capacitor retangular de placas paralelas, sabendo que esse capacitor tem a mesma capacitância que um capacitor esférico em vácuo. Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
Informações específicas:
- Capacitor retangular (placas paralelas): dimensões das placas
e (portanto área ), separação entre placas , dielétrico desconhecido com constante . - Capacitor esférico: esferas concêntricas com raios interno
e externo , preenchido com vácuo (constante dielétrica igual a ).
O que o problema pede: - Determinar
tal que a capacitância do capacitor retangular seja igual à capacitância do capacitor esférico em vácuo.
Passo 2
Fórmula do capacitor de placas paralelas preenchido por um dielétrico homogêneo: comece lembrando a definição de capacitância como razão entre carga e diferença de potencial,
Para placas paralelas com área
, separação
e dielétrico de constante
, o campo elétrico entre as placas (assumindo campo uniforme) é
onde
é a densidade de carga superficial e
é a permissividade do vácuo. A diferença de potencial entre placas é
. Substituindo,
Então a capacitância fica
Aqui:
é a constante dielétrica (adimensional),
tem unidade
,
é a área das placas e
é a distância entre elas. No nosso caso
.
Passo 3
Calcule a área
das placas (uso os valores numéricos dados):
Passo 4
Fórmula do capacitor esférico em vácuo: para duas esferas concêntricas de raios internos
e externos
em vácuo, o campo radial produzido por uma carga
na esfera interna é
A diferença de potencial entre as esferas é a integral de
:
Logo a capacitância é
Expliquei cada passo: expressão de
(lei de Coulomb para campo radial), integração para obter
e definição
.
Passo 5
Igualando as capacitâncias (condição do enunciado: têm o mesmo valor) e escrevendo explicitamente os símbolos:
Cancelamos
dos dois lados (não é zero) e substituímos
:
Agora simplificamos
em ambos os lados:
Isolando
:
Mostrei passo a passo a álgebra: cancelamento de
, substituição da área, cancelamento de
e resolução para
.
Passo 6
Substitua os valores numéricos (
,
):
Em valor decimal aproximado (usar vírgula como separador):
Observação rápida:
é adimensional (constante dielétrica), e o resultado obtido é compatível com materiais de constante dielétrica relativamente alta.