A capacitância de um capacitor variável de ar varia linearmente de 50 a 364 pF durante uma rotação de 0 a 180^circ. Quando colocado em 75^circ, uma diferença de potencial de 400 V é mantido no capacitor. Qual o módulo a direção e o sentido do torque eletrostático experimentado pelo capacitor?

Passo 1

O enunciado diz que a capacitância varia linearmente de Cmin=50 pF em theta=0 até Cmax=364 pF em theta=180^circ, que é igual a pi rad. Mantém-se uma diferença de potencial V=400 V a um ângulo theta=75^circ. Queremos o torque eletrostático sobre o capacitor. O conteúdo principal é energia eletrostática de capacitor e torque obtido como derivada dessa energia em relação a theta.

Passo 2

Expressamos a capacitância em função de theta (em graus):
C(theta)=Cmin+Cmax-Cmin180^circ,theta
A variação total é
Cmax-Cmin=364-50=314 pF
Então
dCdthetarm (graus)=314 pF180^circapprox1,744 pF/^circ
Para usar em torque, precisamos de dfracdCdtheta com theta em radianos. Como 180^circ=pi rad,
dCdthetarm (rad)=314times10^-12 Fpi rad approx1,00times10^-10,Frad

Passo 3

A energia eletrostática de um capacitor mantido a voltagem constante é
U(theta)=12,C(theta),V^2

Passo 4

O torque eletrostático é dado por
tau(theta)=-dUdtheta =-12,V^2,dCdtheta
Como dfracdCdthetarm rad>0, o torque fica negativo, ou seja, ele atua no sentido de diminuir theta (tende a reduzir a capacitância quando V é constante).

Passo 5

Substituindo V=400 V e dfracdCdthetarm rad=1,00times10^-10,F/rad obtemos
|tau| =12,(400)^2,(1,00times10^-10) =0,5times160000times10^-10 =8,0times10^-6,Ncdot m

Passo 6

Como o sinal do torque é negativo (na convenção de theta aumentando desde 0 até 180^circ), o torque atua no sentido de diminuir theta. Em outras palavras, ele tende a girar o rotor no sentido oposto ao aumento de theta.

Resposta

O módulo do torque é
8,0times10^-6,Ncdot m
O torque é dirigido de modo a reduzir theta (isto é, no sentido oposto ao aumento do ângulo de rotação).

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