Exercício 3.6. Considere um hipotético planeta esférico, de raio R e massa M, coberto com uma densa nuvem esférica de poeira de espessura h e densidade constante rho. Determine a força sobre uma partícula de massa m colocada na nuvem de poeira, a uma distância r do centro do planeta.

Passo 1

O enunciado descreve um planeta esférico de raio R e massa M, envolto por uma camada esférica de poeira de espessura h e densidade constante rho. Queremos a força gravitacional sobre uma partícula de massa m colocada na nuvem, a uma distância r do centro, com R<r<R+h. O conteúdo que usamos é a lei da gravitação universal de Newton e o teorema da casca esférica (somente a massa interna a r contribui).

Passo 2

Primeiro, a força devido ao planeta de massa M é, pela lei de Newton,
Frm planeta = -G,M,mr^2,r,,
onde r é o versor radial apontando para fora (o sinal negativo indica atração).

Passo 3

Em seguida, aplicamos o teorema da casca esférica para a nuvem de poeira: só a massa de poeira contida dentro de raio r exerce força. Essa massa é
Mrm poeira(r) = rho times l[volume entre R e rr] = rho,4pi3l(r^3 - R^3r)

Passo 4

Somando as contribuições do planeta e da poeira interna, a força total sobre m vale
F = -G,ml[M + tfrac4pirho3(r^3 - R^3)r]r^2,r

Resposta

F = -G,ml[M + tfrac4pirho3(r^3 - R^3)r]r^2,r, para R<r<R+h.

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