Qual a capacitância total de um capacitor de 0,01 \mu \mathrm{~F} em série com um capacitor de 0,02 \mu \mathrm{F} ? Qual a tensão de cada um se uma tensão de 100 V é aplicada sobre a composição?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Qual a capacitância total da combinação de dois capacitores em série?
  • Qual a tensão em cada capacitor se a combinação é submetida a 100\\ \mathrm{V}?
Informações fornecidas:
  • Capacitor 1: C_1 = 0,01\,\mu\mathrm{F}.
  • Capacitor 2: C_2 = 0,02\,\mu\mathrm{F}.
  • Tensão total aplicada à combinação em série: V_{\text{total}} = 100\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): quando capacitores estão em série eles armazenam a mesma carga elétrica Q. A tensão total aplicada se distribui entre eles, e a relação entre tensão e carga para cada capacitor é dada pela lei do capacitor:
V_i=\frac{Q}{C_i},
onde V_i é a tensão no capacitor i, Q é a carga comum e C_i é a capacitância do capacitor i.
A tensão total é a soma das tensões individuais:
V_{\text{total}}=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right).
Dessa expressão isolamos a carga:
Q=\frac{V_{\text{total}}}{\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}}.
Definimos a capacitância equivalente C_{\text{eq}} por Q=C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}. Comparando com a expressão anterior obtemos a fórmula padrão para capacitores em série:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.
Para dois capacitores pode-se também usar a forma equivalente:
C_{\text{eq}}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo de C_{\text{eq}}. Primeiro colocar C_1 e C_2 em farads:
C_1 = 0,01\,\mu\mathrm{F}=0,01\times10^{-6}\,\mathrm{F}=1\times10^{-8}\,\mathrm{F},
C_2 = 0,02\,\mu\mathrm{F}=0,02\times10^{-6}\,\mathrm{F}=2\times10^{-8}\,\mathrm{F}.
Usando a fórmula \,C_{\text{eq}}=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\, trabalhando em \mu\mathrm{F} fica mais direto:
C_{\text{eq}}=\frac{0,01\times0,02}{0,01+0,02}\,\mu\mathrm{F}=\frac{0,0002}{0,03}\,\mu\mathrm{F}=0,006\overline{6}\,\mu\mathrm{F}.
Em farads:
C_{\text{eq}}=0,006\overline{6}\,\mu\mathrm{F}=6,6\overline{6}\times10^{-9}\,\mathrm{F}\approx6,67\times10^{-9}\,\mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a carga comum Q armazenada quando a tensão total V_{\text{total}}=100\\ \mathrm{V} é aplicada:
Q=C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}=\left(6,6\overline{6}\times10^{-9}\,\mathrm{F}\right)\times(100\\ \mathrm{V})=6,6\overline{6}\times10^{-7}\,\mathrm{C}.
Para facilitar leitura, Q\approx6,67\times10^{-7}\,\mathrm{C}.

Passo 5

Agora as tensões em cada capacitor usando V_i=Q/C_i.
Tensão no capacitor de C_1=0,01\,\mu\mathrm{F}=1\times10^{-8}\,\mathrm{F}:
V_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{6,6\overline{6}\times10^{-7}}{1\times10^{-8}}\\ \mathrm{V}=66,6\overline{6}\\ \mathrm{V}\approx66,67\\ \mathrm{V}.
Tensão no capacitor de C_2=0,02\,\mu\mathrm{F}=2\times10^{-8}\,\mathrm{F}:
V_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{6,6\overline{6}\times10^{-7}}{2\times10^{-8}}\\ \mathrm{V}=33,3\overline{3}\\ \mathrm{V}\approx33,33\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida (de vidência): V_1+V_2\approx66,67+33,33=100\\ \mathrm{V}, que é a tensão total aplicada — perfeito.

Resposta

Capacitância total: C_{\text{eq}}=6,6\overline{6}\times10^{-9}\,\mathrm{F}=0,006\overline{6}\,\mu\mathrm{F}.
Tensão no capacitor de 0,01\,\mu\mathrm{F}: V_1\approx66,67\\ \mathrm{V}.
Tensão no capacitor de 0,02\,\mu\mathrm{F}: V_2\approx33,33\\ \mathrm{V}.

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