Um capacitor de 80 \mu \mathrm{~F} e um de 40 \mu \mathrm{~F} são conectados em paralelo com uma fonte de 120 V. Determine a energia armazenada em cada um.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a energia armazenada em cada capacitor:
  • Capacitor 1: C_1 = 80\\ \mu\mathrm{F}.
  • Capacitor 2: C_2 = 40\\ \mu\mathrm{F}.
  • Tensão da fonte: V = 120\\ \mathrm{V}.
O que se pede: calcular a energia armazenada em cada capacitor quando ambos estão conectados em paralelo à fonte de 120\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a energia armazenada em um capacitor carregado até uma tensão V é dada por
U = \tfrac{1}{2} C V^2.
Explicando a fórmula linha a linha:
  • U é a energia (em joules, \mathrm{J}).
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F}).
  • V é a diferença de potencial (em volts, \mathrm{V}).
    Motivação rápida (derivação curta): a pequena quantidade de trabalho para transferir uma carga elementar dq a uma tensão v é dW = v\,dq. Como v = q/C,
W=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,dq=\left[\frac{q^{2}}{2C}\right]_{0}^{Q}=\frac{Q^{2}}{2C}.
Como Q=CV, substituindo obtemos
W=\frac{(CV)^{2}}{2C}=\tfrac{1}{2}CV^{2}.
Essa é a fórmula que usamos na prática.

Passo 3

Observação importante sobre paralelo: quando capacitores estão em paralelo, a tensão V é a mesma em cada capacitor (cada um vê a mesma fonte). Portanto podemos aplicar a mesma V=120\\ \mathrm{V} nas duas fórmulas individuais U=\tfrac{1}{2}CV^{2}.
Antes de calcular, convertemos microfarads para farads:
C_1 = 80\\ \mu\mathrm{F} = 80\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, \qquad C_2 = 40\\ \mu\mathrm{F} = 40\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a energia do capacitor de 80\\ \mu\mathrm{F}:
usar \displaystyle U_1=\tfrac{1}{2}C_1V^{2}.
Primeiro calcule V^{2}:
V^{2}=120^{2}=14400.
Agora multiplica:
C_1V^{2}=(80\times10^{-6})\times14400.
Fazendo a conta passo a passo:
80\times14400=1\,152\,000,
então
(80\times10^{-6})\times14400=1\,152\,000\times10^{-6}=1,152\\ \mathrm{(F\cdot V^{2})}.
Finalmente
U_1=\tfrac{1}{2}\times1,152=0,576\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia do capacitor de 40\\ \mu\mathrm{F}:
usar \displaystyle U_2=\tfrac{1}{2}C_2V^{2}.
Reaproveitando V^{2}=14400:
C_2V^{2}=(40\times10^{-6})\times14400.
Conta passo a passo:
40\times14400=576\,000,
logo
(40\times10^{-6})\times14400=576\,000\times10^{-6}=0,576\\ \mathrm{(F\cdot V^{2})}.
Então
U_2=\tfrac{1}{2}\times0,576=0,288\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificação rápida (cheque de consistência): em paralelo a capacitância equivalente é a soma
C_{\text{eq}}=C_1+C_2= (80+40)\times10^{-6}=120\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Energia total esperada
U_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}V^{2}=\tfrac{1}{2}\times(120\times10^{-6})\times14400=0,864\\ \mathrm{J}.
E U_1+U_2=0,576+0,288=0,864\\ \mathrm{J}, consistente com o total — bom sinal.
Dica para prova: decore U=\tfrac{1}{2}CV^{2} e lembre que em paralelo a tensão é a mesma; em série a carga é a mesma (mudam somente as grandezas que ficam iguais).

Resposta

Capacitor de 80\\ \mu\mathrm{F}: 0,576\\ \mathrm{J}
Capacitor de 40\\ \mu\mathrm{F}: 0,288\\ \mathrm{J}

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